Fasci di rette

Chiameremo fascio proprio di rette l'insieme di tutte le rette del piano cartesiano che passano per un dato punto P. E' chiaro che un fascio proprio di rette contiene infinite rette. Il punto P prende il nome di centro del fascio.

Come possiamo individuare, mediante equazioni, un fascio proprio di rette? Consideriamo, ad esempio, il fascio proprio di rette per il punto P(1, 2). Utilizziamo la solita equazione:

y - y_P = m(x - x_P)

Imponiamo il passaggio per P e lasciamo m sotto forma di parametro (quindi libero di variare), in questo modo l'equazione diventa:

y - 2 = m(x - 1)

cioè:

y = mx - m + 2

Al variare di m si ottengono le varie rette del fascio (tranne una, quale?); ad esempio:

• per m = 1 si ottiene la retta di equazione y = x + 1;

• per m = 2 si ottiene la retta di equazione y = 2x;

• per m = -1 si ottiene la retta di equazione y = -x + 3;

• per m = -2 si ottiene la retta di equazione y = -2x + 4;

e così via.

L'unica retta del fascio che non troveremo mediante la nostra equazione parametrica è quella verticale che ha equazione x=1. Concludendo le rette del fascio proprio per P sono individuate dalle rette di equazione:

y = mx - m + 2 (al variare di m) oppure x = 1

Quindi, in generale:

Il fascio proprio di rette di centro P(x_P, y_P) ha per equazioni:

y - y_P = m(x - x_P) oppure x = x_P con m ∈R

dove m è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri reali.

C'è un altro tipo di fascio di rette chiamato fascio improprio o, anche, fascio di rette parallele. Un fascio improprio di rette è l'insieme di tutte le rette del piano cartesiano che sono parallele ad una retta data. Ogni fascio di rette parallele contiene infinite rette e individua una direzione nel piano (comune a tutte le rette del fascio). Ecco ad esempio alcune rette del fascio improprio individuato dalla retta r.

E' facile trovare l'equazione di un fascio improprio. Consideriamo ad esempio il fascio di rette parallele alla retta r di equazione:

Utilizzeremo l'equazione di una retta nella forma y=mx+q. Tutte le rette del fascio devono avere la stessa pendenza m = 1/2, mentre l'ordinata all'origine q è libera di variare; quindi l'equazione del fascio è:

dove q ha il ruolo di parametro. In figura sono rappresentate alcune rette del fascio:

Per q = 0 si trova la retta del fascio passante per l'origine che prende il nome di retta base del fascio. Osserva che se la retta r fosse verticale l'equazione del fascio sarebbe semplicemente x = h.

Un altro modo per individuare l'equazione di un fascio di rette proprio o improprio è quello della combinazione lineare delle equazioni di due rette mediante due parametri. Se le due rette si intersecano in un punto P allora la combinazione lineare delle equazioni delle due rette permette di individuare il fascio proprio di tutte le rette del piano cartesiano di centro P, se invece le due rette sono parallele la combinazione lineare delle loro equazioni individua un fascio di rette improprio. Ad esempio, consideriamo le due rette r e s di equazioni:

r: y - 2x + 4 = 0; s: y + x - 5 = 0

che si intersecano nel punto P(3, 2)

L'equazione di tutte le rette del fascio proprio che hanno centro in P(3, 2) si ottiene dalla combinazione lineare:

p ⋅ (y - 2x + 4) + q ⋅ (y + x - 5) = 0 con p e q ∈ R non entrambi nulli.

Per ogni coppia di valori p e q si ottiene l'equazione di una determinata retta del fascio. Ad esempio, ponendo p = 0 e q = 1 si ottiene la retta s, ponendo p = 1 e q = 0 si ottiene la retta r, ponendo p = 1 e q = 3 si ottiene l'equazione della retta del fascio:

y - 2x + 4 + 3 ⋅ (y + x - 5) = 0

Cioè:

4y + x -11 = 0

Le rette r e s sono dette generatrice del fascio. L'equazione delle rette del fascio proprio che ha come rette generatrici r e s può essere espresso anche con un solo parametro. Vediamo: se p è diverso da zero possiamo dividere i due membri della combinazione lineare per p e ponendo il parametro k = q/p otteniamo l'equazione:

(y - 2x + 4) + k ⋅ (y + x - 5) = 0

Cioè:

(k+1)y + (k-2)x + 4 - 5k = 0

Questa equazione permette di ottenere, al variare di k, tutte le rette del fascio proprio passanti per P esclusa la retta s. Ad esempio, per k=2 si ottiene la retta del fascio:

3y - 6 = 0

Come si vede in figura:

Man mano che k diventa sempre più grande (in valore assoluto) si ottiene l'equazione di una retta che si avvicina sempre di più alla retta s. Tuttavia nessuna di queste rette potrà mai soprapporsi alla retta s. Per questo motivo si dice che si ottiene la retta s quando k tende all'infinito, cioè k = ∞.

Con gli stessi ragionamenti possiamo ottenere l'equazione di un fascio di rette improprio. Ad esempio, se consideriamo le due rette parallele r e s:

r: 2y - x + 2 = 0; s: 2y - x - 3 = 0

L'equazione di tutte le rette del fascio improprio si ottiene dalla combinazione lineare:

p ⋅ (2y - x + 2) + q ⋅ (2y - x - 3) = 0 con p e q ∈ R non entrambi nulli.

Se invece introduciamo il solo parametro k si ottiene:

(2y - x + 2) + k ⋅ (2y - x - 3) = 0

In conclusione, un'equazione lineare in x e y i cui coefficienti siano polinomi di primo grado nel parametro k, rappresenta sempre un fascio proprio o un fascio improprio di rette. Vediamo alcuni esempi:

• Esempio 1: L'equazione parametrica
  

  2y + (k+3)x - 2k = 0

  rappresenta un fascio proprio o improprio di rette? Se il fascio è proprio qual è il suo centro?
  
  Scriviamo l'equazione nella forma esplicita risolvendo rispetto a y:
  

  
  

  Poichè il parametro k compare nel coefficiente di x (quindi la pendenza varia al variare di k), l'equazione parametrica rappresenta necessariamente un fascio proprio di rette (se il fascio di rette fosse improprio la pendenza dovrebbe rimanere costante). Per determinare il centro del fascio basta trovare il punto P di intersezione di due rette qualsiasi del fascio che possiamo individuare, ad esempio, ponendo k=-3 e k=0. Individuate le equazioni delle due rette dovremo risolvere il sistema:
  

  
  

  che ci fornisce la soluzione (2, -3). Quindi il centro del fascio è P(2,-3). In figura sono rappresentate tre rette del fascio.
  

  

• Esempio 2: L'equazione parametrica
  

  (k+1)y - (2k+2)x + 3k + 1 = 0

  rappresenta un fascio proprio o improprio di rette? Se il fascio è improprio qual è la retta base?
  
  Scriviamo l'equazione nella forma esplicita risolvendo rispetto a y:
  

  
  

  Poichè il parametro k non compare nel coefficiente di x (la pendenza è costante e vale 2), l'equazione parametrica rappresenta quindi un fascio improprio di rette. La retta base del fascio è y=2x e si ottiene ponendo q=0 cioè:
  

  
  

  Che ha per soluzione k = 1/3.

• Esempio 3: Studiare il fascio di rette di equazione:
  

  (3-k)x + (k+1)y + 4k - 8 = 0

  indicando:

  1. le generatrici;

  2. il centro se il fascio è proprio;

  3. il senso di rotazione delle rette del fascio intorno al centro al variare di k.

  
  

  Eseguiamo le moltiplicazioni presenti nell'equazione del fascio:
  

  3x -kx + ky + y + 4k - 8 = 0

  Separiamo i termini che contengono il parametro k:
  

  3x + y - 8 + k(-x + y + 4) = 0

  Le equazioni generatrici del fascio sono:
  

  3x + y - 8 = 0 per k = 0
  
  -x + y + 4 = 0 per k → ∞

  Le due generatrici non sono parallele e quindi il fascio è proprio. Determiniamo il centro del fascio:
  

  
  

  Il centro del fascio è quindi C(3, 1).
  
  Per k = 1 si ottiene la retta del fascio:
  

  2x + 2y - 4 = 0
  

  Per k = 2 si ottiene la retta del fascio:
  

  x + 3y = 0
  

  Rappresentiamo il grafico delle rette generatrici e le due rette del fascio che abbiamo determinato per k=1 e k=2
  

  
  

  Osservando il grafico si nota che al crescere di k si ottengono delle rette che ruotano intorno al centro C(3, 1) in senso antiorario.