Equazione di una retta in forma implicita
Abbiamo visto che una retta nel piano cartesiano ha equazione y = mx + q se non è parallela all'asse delle y e ha equazione x = h se è verticale. Ora ci chiediamo: è possibile trovare un'equazione che "unifichi" le due equazioni precedenti cioè che rappresenti tutte le rette del piano e solo le rette del piano? La risposta è affermativa: basta infatti considerare un'equazione di primo grado in x e y del tipo:
ax + by + c = 0
dove sono presenti i tre parametri reali a, b e c con a e b non entrambi nulli. Mostriamo che tale equazione rappresenta tutte le rette; ci sono due casi possibili.
Il coefficiente b è diverso da zero. Dividendo i due membri per b e risolvendo rispetto a y l'equazione assume la forma equivalente:
dove y è dato esplicitamente in funzione di x. Otteniamo quindi un'equazione della forma y = mx + q che, non a caso, viene chiamata equazione di una retta in forma esplicita e che rappresenta una retta non verticale.
Il coefficiente b è uguale a zero. L'equazione assume la forma ax + c = 0 o, equivalentemente,
Otteniamo quindi un'equazione del tipo x = h che rappresenta una retta verticale.
