Geometria analitica della retta

Distanza tra due punti

Un segmento nel piano cartesiano è individuato dalle coordinate dei suoi estremi. Ad esempio in figura è rappresentato il segmento AB con A(-4, 3) e B(4, 1).

Vediamo come determinare la lunghezza di un segmento cioè la distanza tra i suoi estremi. Iniziamo ad esaminare dei casi particolari. Consideriamo il segmento AB parallelo all'asse delle x con A(1, 1) e B(4, 1).

Si vede subito che i suoi punti hanno tutti la stessa ordinata e la sua lunghezza è 3: basta infatti fare la differenza tra le ascisse degli estremi:

Naturalmente la distanza tra A e B deve essere uguale alla distanza tra B e A, ma, se invertiamo l'ordine dei termini della sottrazione, non otteniamo lo stesso valore e, per di più, otteniamo un numero negativo (1-4 = -3) il che non è accettabile perchè la distanza tra due punti, in quanto lunghezza di un segmento, deve essere un numero reale non negativo. Per evitare questo problema prenderemo il valore assoluto della differenza tra le ascisse degli estremi:

Consideriamo il segmento CD parallelo all'asse delle y con C(3, 0) e D(3, 4):

Si vede subito che i suoi punti hanno tutti la stessa ascissa e la sua lunghezza è 4: basta infatti calcolare il valore assoluto della differenza tra le ordinate degli estremi:

Quindi:

Se due punti A(x_A, y_A) e B(x_A, y_B) hanno la stessa ascissa, la loro distanza è data da:

Se due punti A(x_A, y_A) e B(x_B, y_A) hanno la stessa ordinata, la loro distanza è data da:

Possiamo ora affrontare facilmente il caso generale: il segmento AB non è necessariamente nè orizzontale nè verticale. Ad esempio, calcoliamo la lunghezza del segmento AB con A(1, 2) e B(5, 5).

Il segmento AB è l'ipotenusa del triangolo rettangolo ABC. Inoltre si ha:

Perciò, applicando il teorema di Pitagora, la distanza tra A e B è data da:

In generale: la distanza tra i punti A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) è data da:

da cui segue

Questa formula continua a valere anche se i punti A e B avessero la stessa ascissa o la stessa ordinata. Abbiamo dunque trovato una formula per la distanza tra due punti applicabile in ogni caso.