Parallelismo e perpendicolarità
Se due rette r e r' (non parallele all'asse y) sono parallele allora formano con l'asse delle x due angoli congruenti, questo significa che le due rette hanno la stessa pendenza e quindi lo stesso coefficiente angolare m e viceversa se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, allora sono parallele.
Troviamo ora la condizione di perpendicolarità per due rette r e r'. Poichè solo la pendenza determina l'inclinazione di una retta, possiamo assumere, senza che il nostro ragionamento perda di generalità, che r e r' siano perpendicolari e passanti per l'origine. Sia allora y = mx l'equazione di r e sia y = m'x l'quazione di r'. Consideriamo i punti P e P', rispettivamente su r e r', con ascissa uguale a 1.
Le coordinate di P sono dunque (1, m) e quelle di P'(1, m'). Poichè le rette sono per ipotesi perpendicolari, il triangolo OPP' è rettangolo in O e deve potersi applicare il teorema di Pitagora; deve essere:
Ecco dunque la condizione che cercavamo: se r e r' sono perpendicolari allora necessariamente deve essere:
m ⋅ m'= -1
E' anche facile dimostrare, con un ragionamento analogo ma "all'indietro", che, viceversa, se m ⋅ m'= -1 allora le rette sono perpendicolari. Quindi:
Condizione di perpendicolarità: Due rette non verticali di pendenza m e m' sono perpendicolari se e solo se si ha m ⋅ m'= -1 o equivalentemente:
Le proprietà geometriche di parallelismo e perpendicolarità possono quindi tradursi in condizioni algebriche sui coefficienti angolari delle rette. Ritroviamo di nuovo l'idea base della geometria analitica: tradurre il linguaggio geometrico in linguaggio algebrico.
