Indice
Equazioni lineari in due incognite
Sistemi di equazioni di primo grado
Come si risolve un sistema lineare: metodo di sostituzione
Come si risolve un sistema lineare: metodo del confronto
Come si risolve un sistema lineare: metodo di eliminazione
Come si risolve un sistema lineare: metodo di Cramer
Sistemi lineari determinati, indeterminati e impossibili
Sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite
Applicazioni dei sistemi lineari
Sistemi lineari determinati, indeterminati e impossibili
Un'equazione può essere determinata, indeterminata o impossibile; la stessa cosa può accadere per un sistema di equazioni lineari. Quando un sistema lineare è ridotto alla forma normale possiamo facilmente stabilire se ha per soluzione:
una sola coppia ordinata di numeri reali (sistema determinato);
infinite coppie ordinate di numeri reali (sistema indeterminato);
nessuna coppia ordinata di numeri reali (sistema impossibile);
Consideriamo il sistema lineare ridotto in forma normale
Il sistema è determinato e ha per soluzione la coppia (5, −3) come si può vedere dalla rappresentazione grafica del sistema:
Le due rette sono distinte, hanno una diversa pendenza e si intersecano in un punto (5, −3). E ciò avviene sempre se il rapporto fra i coefficienti di x è diverso dal rapporto fra coefficienti di y:
In generale un sistema lineare è determinato se si verificano le due condizioni:
Consideriamo il sistema lineare ridotto in forma normale
Il sistema è indeterminato e ha per soluzione infinite coppia ordinate di numeri reali come si può vedere dalla rappresentazione grafica del sistema:
Le due rette sono coincidenti (le due equazioni si possono scrivere come:
) e quindi tutti i punti della retta rappresentano soluzioni del sistema. D'altronde se osserviamo le due equazioni del sistema possiamo renderci conto che sono equivalenti (la seconda equazione è stata ottenuta moltiplicando tutti i termini della prima equazione per 2). Le due rette sono coincidenti quando il rapporto fra i coefficienti di x è uguale al rapporto fra coefficienti di y ed è uguale anche al rapporto tra i coefficienti dei termini noti:
In generale un sistema lineare è indeterminato se si verificano le due condizioni:
Consideriamo il sistema lineare ridotto in forma normale
Il sistema è impossibile e ha per soluzione nessuna coppia ordinata di numeri reali come si può vedere dalla rappresentazione grafica del sistema:
Le due rette sono parallele ma non coincidenti e quindi non hanno punti in comune. E ciò avviene sempre quando il rapporto fra i coefficienti di x è uguale al rapporto fra coefficienti di y ma non è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini noti:
In generale un sistema lineare è impossibile se si verificano le due condizioni:
Riassumiamo i tre casi esaminati mettendo in luce le relazioni tra linguaggio algebrico e linguaggio geometrico.
Con la rappresentazione grafica di un sistema lineare possiamo stabilire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile. Se il sistema lineare è determinato e vogliamo determinare i valori precisi dell'unica soluzione con la rappresentazione grafica non sempre è possibile. E' possibile ottenere sempre la soluzione precisa di un sistema lineare con un procedimento algebrico.
