Cosa si deve sapere sui sistemi di equazioni lineari

Equazioni lineari in due incognite

Un'equazione della forma:

x + y = 5

dove x e y sono due incognite di primo grado viene detta equazione lineare in due incognite. Per ottenere una soluzione di un'equazione lineare in due incognite occorre una coppia ordinata di numeri reali il primo per l'incognita x e secondo per l'incognita y che soddisfa l'uguaglianza. Ad esempio, se consideriamo l'equazione lineare x + y = 5 la coppia x = 1 e y = 4 è una soluzione, che possiamo indicare anche così: (1, 4) il primo elemento della coppia è il valore da assegnare a x e il secondo quello da assegnare a y.

Per trovare altre soluzioni basta assegnare un qualsiasi valore a x e poi risolvere l'equazione rispetto a y, cioè y = 5 − x. Sono soluzioni, ad esempio:

(0, 5); (2, 3); (3, 2); (4, 1); (-1, 6); (-2, 7); (-3, 8)

Pertanto un'equazione lineare in due incognite ha infinite soluzioni. Possiamo identificare l'insieme delle soluzioni con un insieme di punti del piano cartesiano che rappresenta il grafico dell'equazione. A tal fine è bene accennare alcuni concetti fondamentali che riguardano il piano cartesiano.

Un piano cartesiano consiste in una coppia di rette orientate, tra loro perpendicolari (una delle rette è di solito disposta orizzontalmente e l'altra verticalmente), sulle quali è stata fissata una unità di misura. Per retta orientata si intende una retta su cui è stato fissato un verso di percorrenza, di solito con una freccia. L'intersezione tra le due rette dette anche assi cartesiani viene detto origine, l'asse orizzontale si chiama asse delle ascisse e quello verticale asse delle ordinate. Per ogni punto P del piano possiamo traccire le parallele da P ai due assi individuando due punti ai quali corrispondono due numeri reali detti ascissa e ordinata del punto P. Entrambi i punti prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P. Ad esempio in figura il punto P ha per ascissa 2 e ordinata 3. Per indicare le coordinate cartesiane di P si scrive P(2, 3).

Ad ogni punto del piano corrisponde un'unica coppia ordinata di numeri reali e viceversa ogni coppia ordinata di numeri reali individua uno e un sol punto P del piano. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali e l'insieme dei punti del piano. Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro regioni che si chiamano quadranti:

Torniamo all'equazione y = 5 − x; ogni sua soluzione è, dunque, un punto del piano cartesiano:

Come si vede questi punti sono allineati lungo una retta e si può dimostrare che il grafico cartesiano di un'equazione lineare in due incognite del tipo y = mx + q (dove m e q sono due numeri reali) è una retta.