Cosa si deve sapere sui sistemi di equazioni lineari

Come si risolve un sistema lineare: metodo di sostituzione

Due sistemi di equazioni lineari di due equazioni in due incognite sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. I due principi di equivalenza delle equazioni sono validi anche per i sistemi di equazioni. Applicando i principi di equivalenza alle equazioni di un sistema lineare possiamo sempre ottenere un sistema equivalente a quello iniziale in forma normale cioè nella forma:

Per risolvere algebricamente un sistema lineari di due equazioni in due incognite si applicano i due principi di equivalenza delle equazioni. Possiamo in questo modo trasformare il sistema lineare iniziale in un sistema lineare equivalente fino ad ottenere il sistema lineare equivalente ridotto in forma normale. A questo punto possiamo applicare vari metodi per ottenere la soluzione del sistema:

Metodo di sostituzione:

Consideriamo il sistema lineare

• Primo passo: Risolviamo una delle due equazioni rispetto a una delle due incognite ad esempio risolviamo la prima equazione rispetto a y.

  

• Secondo passo: Sostituiamo nell'altra equazione al posto di y l'espressione determinata al primo passo in questo modo si ottiene un'equazione nella sola incognita x detta equazione risolvente del sistema.

  

• Terzo passo: Risolviamo l'equazione risolvente del sistema.

  

• Quarto passo: Sostituiamo in una delle due equazioni iniziali il valore di x trovato nel passo precedente e risolviamo l'equazione nella sola incognita y.

  

  La coppia ordinata (2, −3) è l'unica soluzione del sistema.

• Quinto passo: Verifica della soluzione ottenuta.

  Si assegna a x il valore 2 e a y il valore 3 nelle due equazioni per verificare se entrambe le equazioni sono vere.