Cosa si deve sapere sui sistemi di equazioni lineari

Come si risolve un sistema lineare: metodo di Cramer

Il metodo di Cramer permette di risolvere un sistema lineare mediante operazioni che coinvolgono i coefficienti delle incognite e i termini noti delle equazioni. Vediamo con un esempio:

Metodo di Cramer:

Consideriamo il sistema lineare

• Primo passo: Scriviamo i coefficienti delle incognite tra due linee in modo da occupare due righe e due colonne; nella prima colonna mettiamo i coefficienti della x e nella seconda colonna i coefficienti della y come si vede in figura:

  

  Questo schema è detto matrice dei coefficienti del sistema. Nel nostro caso la matrice dei coefficienti è una tabella rettangolare 2 x 2 dove possiamo considerare le due diagonali dette rispettivamente diagonale principale e diagonale secondaria come si vede in figura:

  

• Secondo passo: Moltiplichiamo i termini che si trovano sulla diagonale principale, poi moltiplichiamo i termini che si trovano sulla diagonale secondaria e infine calcoliamo la differenza dei due prodotti che indicheremo con D:

  

  In questo modo è possibile associare un numero chiamato determinante alla matrice dei coefficienti.

• Terzo passo: Scriviamo la matrice della x mettendo nella prima colonna i termini noti e nella seconda colonna i coefficienti della y e calcoliamo il suo determinante indicandolo con D_x. Scriviamo la matrice della y mettendo nella seconda colonna i termini noti e nella prima colonna i coefficienti della x e calcoliamo il suo determinante indicandolo con D_y.

  

• Quarto passo: Se D ≠ 0 il sistema è determinato e la soluzione è data da:

  

  La coppia (2, −2) è quindi la soluzione del sistema.

• Quinto passo: Verifica della soluzione ottenuta.

  

Nel caso in cui risulta D = 0 si ha:

• Primo caso: D = 0 e D_x ≠ 0 (oppure D_y ≠ 0) il sistema è impossibile.

• Secondo caso: D = 0 e D_x = 0 (oppure D_y = 0) il sistema è indeterminato.