La relazione più attraente della matematica
La relazione:
nota come identità di Eulero, è stata considerata come la formula più sorprendente della matematica perchè mette in relazione tra loro cinque diverse costanti della matematica:
- 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione;
- 0 è l'elemento neutro dell'addizione;
- i è l'unità immaginaria;
- e è il numero di Nepero ed è la base dei logaritmi naturali;
- Π è il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.
Vediamo una delle tante dimostrazioni di questa formula:
Se n è un numero naturale molto grande possiamo scrivere:
Ponendo nx = m si ottiene:
Cioè:
La formula di de Moivre sulle potenze di un numero complesso ci permette di scrivere:
dove x è l'angolo espresso in radianti. Ora, se m tende all'infinito cos x/m tende a 1 e sin x/m tende a x/m e quindi si ha:
Possiamo quindi scrivere:
Cioè:
Questa espressione rappresenta il punto del cerchio unitario sul piano complesso che forma un angolo x (in radianti) con l'asse positivo dei numeri reali come mostrato in figura
Quando x è uguale a pi greco il cos Π è uguale a -1 e il sin Π è uguale a zero e quindi si ottiene l'identità di Eulero:
