Numero e

L'importanza della funzione y = e^x

Le funzioni del tipo y = a^x con a maggiore di zero sono dette esponenziali perchè crescono, all'aumentare di x, più velocemente di qualsiasi altra funzione. Ad esempio se a=2 allora 2⁰=1 e 2⁵=32 e 2¹⁰=1024 e 2²⁰=1048576. Come si vede la funzione parte lentamente ma poi cresce rapidamente. Tra tutte le funzioni esponenziali la più interessante è la funzione y=e^x perchè ha una importante proprietà:

Ogni retta tangente alla curva y=e^x ha per pendenza lo stesso valore della funzione in quel punto. Ad esempio:

• per x=0 il valore della funzione è 1 e la retta tangente alla curva nel punto (0, 1) ha pendenza 1;

• la retta tangente alla curva nel punto (1, e) ha pendenza e.

Ricordiamo che nel piano cartesiano la pendenza di una retta (detta anche coefficiente angolare e indicata con la lettera m) rappresenta l'inclinazione della retta rispetto all'asse positivo delle x. Per definizione il coefficiente angolare di una retta è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque distinti della retta

Questo significa che tutti i punti di una data retta hanno la stessa inclinazione. Ora, una retta tangente a una curva ha un unico punto in comune con la curva e quindi in quel punto comune la retta e la curva hanno la stessa inclinazione e il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto comune misura la curvatura della curva e ci indica l'incremento istantanea della curva. Questa misura del tasso di variazione della curva in matematica viene detta derivata. Questo significa che in ogni punto la derivata della funzione y=e^x è uguale alla funzione stessa. La funzione esponenziale y=e^x è l'unica funzione ad avere se stessa come derivata. Se consideriamo che la derivata rappresenta il tasso di variazione di una grandezza si comprende il perchè le funzioni esponenziali con base e sono quelle più adatte a descrivere fenomeni che evolvono con continuità nel tempo.