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Numero e

Il numero irrazionale

viene chiamato numero di Nepero in onore del matematico John Napier (1550-1617) italianizzato in Giovanni Nepero, che per primo lo introdusse, è spesso chiamato anche Numero di Eulero in onore del matematico Leonhard Euler che nè studiò alcune prorietà e fu il primo ad usare il simbolo e e a dimostrare che è irrazionale. Il numero e è una costante matematica che non ha un'origine geometrica e oltre ad essere irrazionale è anche trascendente per cui non è costruibile con riga e compasso. Generalmente la costante e viene definita come il limite della successione:

per n che tende all'infinito. Questa successione è crescente ma è limitata superiormente ed ogni suo termine è minore di 3 per cui è convergente e tende lentamente ad avvicinarsi sempre di più al valore del numero e.

In matematica questa definizione viene scritta con la notazione:

Per determinare il valore approssimato di e è più conveniente utilizzare la formula scoperta da Newton nel 1671:

che vale per ogni valore di x, e ponendo x=1 si ottiene la serie:

chè converge rapidamente verso il valore di e. Ecco ad esempio le prime sei somme parziali di questa serie:

La scoperta del numero e risale agli inizi del XVII secolo ed è attribuita a Nepero che inventò i logaritmi aventi per base il numero 1/e con lo scopo di rendere più semplici i calcoli numerici che implicavano le operazioni di moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici quadrate e cubiche di grandi numeri. Infatti, i logaritmi permettono di trasformare prodotti in somme, quozienti in differenze, elevamenti a potenza in prodotti e calcoli di radici in quozienti e come si sà è più facile sommare e sottrarre che moltiplicare e dividere. Il metodo di calcolo con i logaritmi ebbe un grande successo e fu, per quel periodo e per i tre secoli successivi una vera rivoluzione che permise di svolgere con facilità i calcoli di una certa complessità e quindi di ridurre notevolmente sia il tempo dedicato ai calcoli numerici sia il rischio di commettere eventuali errori di calcolo. Attualmente i logaritmi con l'avvento delle calcolatrici elettroniche e dei computer hanno perso il loro ruolo come strumenti pratici per il calcolo aritmetico ma hanno acquisito un importante ruolo nelle funzioni esponenziali e in analisi. Ricordiamo che il logaritmo rappresenta la funzione inversa della funzione esponenziale e per definizione si ha:

se a^x = b allora x = log_a b

Ad esempio:

se 3² = 9 allora 2 = log₃ 9

Con la scrittura x = log_a b si intende:

x è l'esponente che bisogna dare alla base a (a>0 ∧ a≠1,) del logaritmo per ottenere b (b>0).

I logaritmi con base e vengono chiamati logaritmi naturali e indicati con la notazione l_n(x) oppure con log_e (x) che si leggono logaritmo naturale di x. Vediamo le proprietà dei logaritmi che permettono di facilitare i calcoli:

dove a>0 ∧ a≠1, b>0, c>0.

Applicando la definizione di logaritmo possiamo trasformare ogni funzione esponenziale in un'altra funzione equivalente avente per base il numero e.

a^x = e^xl_n(a)

Il numero e è indispensabile in molti campi della matematica, ad esempio in algebra, in analisi e in statistica ed ha anche molte applicazioni in altri ambiti come in fisica e in economia.