Congiunzione logica
Le due proposizioni semplici
p = Il triangolo ABC ha due lati uguali
q = Il triangolo ABC ha due angoli di 45°possono essere collegate tra loro utilizzando il connettivo logico e detto congiunzione logica che viene indicato con il simbolo ∧ in modo da ottenere una nuova proposizione.
p ∧ q = Il triangolo ABC ha due lati uguali e due angoli di 45°
La proposizione p ∧ q (si legge p e q) è vera se sono vere sia p sia q e in nessun altro caso. Se, ad esempio, il triangolo ABC avesse due lati uguali ma non avesse due angoli di 45°, la proposizione p ∧ q sarebbe falsa. Possiamo esprimere il valore di verità di una congiunzione logica mediante una tavola di verità dove sono esaminate tutte le possibili combinazioni dei valori di verità di p e q e, per ciascuna possibilità, è indicato il valore di verità di p ∧ q.
Il seguente diagramma ad albero ci permette di capire che le possibili combinazioni sono 22=4.
Il circuito elettrico con due interruttori p e q in serie, consente di simulare la congiunzione logica. La lampadina si accende soltanto se sono chiusi sia l'interruttore p sia l'interruttore q
L'interpretazione è questa:
interruttore p chiuso significa proposizione p vera
interruttore p aperto significa proposizione p falsa
interruttore q chiuso significa proposizione q vera
interruttore q aperto significa proposizione q falsa
lampadina accesa significa proposizione p ∧ q vera
lampadina spenta significa proposizione p ∧ q falsaC'è una stretta relazione tra l'operazione di intersezione insiemistica e la congiunzione logica. Per definire l'intersezione di insiemi abbiamo bisogno della congiunzione logica. Consideriamo ad esempio l'insieme A dei numeri dispari e l'insieme B dei multipli di 3.
Quando scriviamo 9 ∈ A ∩ B affermiamo, per definizione, che:
9 è un numero dispari ∧ 9 è un multiplo di 3
