Primi elementi della logica delle proposizioni

Che cosa è una proposizione

Consideriamo la frase

Roma è la capitale d'Italia

oppure la frase

Roma è una città della Campania

Si tratta in entrambi i casi di affermazioni per le quali siamo in grado di decidere con certezza e senza ambiguità se sono vere o false. Quando una frase può essere solo vera o falsa viene detta proposizione semplice o enunciato (il termine semplice indica che la proposizione è una frase breve di senso compiuto). Nel nostro caso la prima frase è una proposizione vera, la seconda è una proposizione falsa. Le due alternative possibili per una proposizione, vero o falso, prendono il nome di valori di verità. Nel seguito i valori di verità verranno indicati con V e F (V = vero, F = falso). Non tutte le frasi sono proposizioni, ad esempio non è una proposizione

Roma è una bella città

perchè esprime un'opinione soggettiva alla quale non possiamo assegnare un valore di verità in senso matematico. E' bene tener presente che la logica delle proposizioni non considera tutte le frasi ma solo quelle per cui è possibile stabilire se sono vere o false. Ad esempio, non sono proposizioni le frasi del tipo ... è simpatico, ... è bello oppure che siano delle esclamazioni, dei desoderi o dei comandi.

In molte situazioni un'affermazione può contenere un'incognita, ad esempio

"x è un numero primo"

E' chiaro che per poter decidere se è vera o falsa dobbiamo prima assegnare un valore a x; se ad esempio poniamo x=3 si tratta di un affermazione vera, se invece poniamo x=4 è falsa. Affermazioni di questo tipo prendono il nome di frasi aperte o proposizioni aperte.

In genere, una proposizione viene indicata con una lettera minuscola, ad esempio:

p = 10 è uguale a 6 + 4

In questo caso il valore di verità di p è V.

Esiste uno stretto collegamento concettuale tra una proposizione e un circuito elettico, vediamo perchè. Consideriamo un circuito elettrico composto da una pila, un interruttore e una lampadina. Nel circuito l'interruttore ha il compito di regolare il flusso della corrente dalla pila alla lampadina. Se l'interruttore è aperto la corrente non passa e la lampadina risulta spenta, invece se l'interruttore è chiuso la corrente passa e la lampadina risulta accesa.

I due stati possibili dell'interruttore (chiuso o aperto) e della lampadina (spenta o accesa) possono essere messi in correlazione con i due stati possibili di una proposizione (falsa o vera) e del corrispondente valore di verita (F o V).

• proposizione p falsa = interruttore aperto
  proposizione p vera = interruttore chiuso

• valore di verità F = lampadina spenta
  valore di verità V = lampadina accesa

Pertanto, un circuito elettrico rappresenta un modello concreto per simulare il valore di verità di una proposizione logica.