Integrazione delle funzioni razionali fratte
Consideriamo l'integrale di una funzione razionale fratta del tipo:
dove A(x) e B(x) sono due funzioni razionali intere con coefficienti reali e prime fra loro. Se il grado del numeratore non è minore di quello del denominatore dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene:
dove Q(x) è il quoziente e R(x) è il resto della divisione. Ad esempio, data la funzione fratta:
dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene:
Pertanto l'integrale iniziale può essere ricondotto alla somma di un integrale di una funzione razionale intera con un integrale di una funzione razionale fratta il cui numeratore è di grado inferiore a quello del denominatore. Avendo già studiato i metodi di integrazione di funzioni razionali intere occupiamoci ora dei metodi di integrazione di funzioni razionali fratte il cui numeratore è di grado inferiore a quello del denominatore. Distinguiamo tre casi che dipendono dal grado del denominatore B(x):
Primo caso: grado di B(x) = 1
L'integrale è del tipo:
con a≠0. Il calcolo di questi integrali sono immediati essendo:
Esempio 1: Calcola:
Applicando la formula si ha:
Secondo caso: grado di B(x) = 2
I possibili integrali sono del tipo:
In base al valore del discriminante
dell'equazione associata ax2+bx+c=0 distinguiamo tre sottocasi:
Primo sottocaso: Δ > 0
Essendo Δ > 0 l'equazione ax2+bx+c=0 ammette due radici reali e distinte x1, x2 ed è scomponibile ina(x - x1)(x - x2)=0
Ne segue che la funzione fratta è, a sua volta, scomponibile in una somma di frazioni integrabili in modo elementare:
dove A e B sono due numeri reali. E quindi:
Esempio 2: Calcola:
La funzione x2+4x+3 ha per radici x1=-3 e x2=-1. Possiamo allora, scomponendo il denominatore, scrivere:
e mettendo a denominatore comune si ha:
La funzione fratta iniziale e la fuzione fratta ottenuta con i numeri A e B hanno lo stesso denominatore e quindi affinchè siano uguali le due funzione fratte devono essere uguali anche i numeratori:
Quindi, per il principio di identità dei polinomi si ha:
Cioè:
che ha per soluzione A=-1 e B=1 e quindi:
Possiamo ora, calcolare l'integrale trasformato in una somma di funzioni fratte integrabili in modo elementare:
Esempio 3: Calcola:
La funzione x2+x-6 ha per radici x1=2 e x2=-3. Possiamo allora scrivere:
e mettendo a denominatore comune si ha
confrontando il numeratore della funzione iniziale con quello della funzione finale possiamo scrivere:
e il sistema ha per soluzione A=7/5 e B=8/5 e quindi:
Esempio 4: Calcola:
La funzione x2-6x ha per radici x1=0 e x2=6. Possiamo allora scrivere:
confrontando il numeratore della funzione iniziale con quello della funzione finale possiamo scrivere:
Quindi:
Secondo sottocaso: Δ = 0
Essendo Δ = 0 l'equazione ax2+bx+c=0 ammette due radici reali coincidenti x1=x2 ed è scomponibile ina(x - x1)2 = 0
In base al grado di R(x) possiamo distinguere due casi:
grado di R(x) = 0
L'integrale è del tipo:
Esempio 5: Calcola:
La funzione x2-4x+4 ha due radici coincidenti x1=x2=2 e quindi possiamo scrivere:
grado di R(x) = 1
L'integrale è del tipo:
Ora, la funzione fratta è scomponibile in una somma di frazioni integrabili in modo elementare:
Esempio 6: Calcola:
Scomponiamo la funzione fratta nella somma di due funzioni fratte:
Possiamo ora, calcolare l'integrale trasformato in una somma di funzioni fratte integrabili in modo elementare:
Terzo sottocaso: Δ < 0
La funzione ax2+bx+c è irriducibile e distinguiamo due casi in base al grado di R(x)
grado di R(x)=0
L'integrale è del tipo:
Il metodo di integrazione consiste nell'applicare il completamento del quadrato del trinomio di secondo grado
in modo da poter ottenere, con alcuni passaggi algebrici, un integrale del tipo:
Vediamo un esempio
Esempio 7: Calcola:
Applicando il completamento del quadrato a x2+x+1 si ha:
Riscrivendo l'integrale si ha:
Moltiplicando e dividendo per 2/√3 si ottiene:
grado di R(x)=1
L'integrale è del tipo
La strategia che si utilizza per risolvere questi tipi di integrali consiste nello scomporre la funzione fratta in una somma di frazioni integrabili immediatamente del tipo:
Vediamo un esempio.
Esempio 8: Calcola:
Scomponiamo la funzione fratta in due frazioni in modo che il numeratore della prima frazione sia la derivata del denominatore ossia 2x+1. Moltiplicando e dividendo per 2/3 possiamo ottenere al numeratore 2x (il primo termine della derivata del denominatore).
Aggiungendo e togliendo +7/3 possiamo ottenere al numeratore +1 (il secondo termine della derivata del denominatore).
Utilizzando le proprietà degli integrali possiamo scomporrere l'integrale iniziale nella somma di due integrali:
Il primo integrale porta a una funzione logaritmo mentre il secondo integrale, (vedi esempio 7), porta a una funzione arcotangente.
Terzo caso: grado di B(x) > 2
In questi casi si procede come segue:
Fattorizzare il denominatore B(x) in modo da ottenere fattori di primo grado o fattori irriducibili di secondo grado;
Scomporre la funzione integranda come somma di frazioni aventi per denominatori i fattori di B(x);
Applicare i metodi di integrazione dei casi precedenti.
Vediamo tre esempi.
Esempio 9: Calcola:
Fattorizziamo il denominatore in modo da ottenere fattori di primo grado o fattori irriducibili di secondo grado.
Scomponiamo la funzione integranda come somma di frazioni aventi per denominatori i fattori del denominatore.
Riscriviamo l'integrale.
Calcoliamo i tre integrali.
Esempio 10: Calcola:
Fattorizziamo il denominatore in modo da ottenere fattori di primo grado o fattori irriducibili di secondo grado.
Scomponiamo la funzione integranda come somma di frazioni aventi per denominatori i fattori del denominatore.
Riscriviamo l'integrale.
Calcoliamo i tre integrali.
Esempio 11: Calcola:
Scomponiamo la funzione integranda come somma di frazioni aventi per denominatori i fattori del denominatore.
Riscriviamo l'integrale.
Calcoliamo i tre integrali.
