Cosa devi sapere sugli integrali indefiniti

Integrali che si possono ricondrre a quelli immediati

L'integrale di una funzione composta moltiplicata per la derivata della funzione interna è uguale alla primitiva della funzione esterna:

Gli integrali indefiniti determinati in questo modo sono detti integrali immediati generalizzati perchè si possono ottenere facilmente dalle formule degli integrali immediati sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 1: Calcoliamo l'integrale:

    

    Si intuisce che:

    

    Pertanto si ha:

    

  • Esempio 2: Calcoliamo l'integrale:

    

    La derivata di (x²-1) è 2x ma nell'integrale c'è x. Possiamo ovviare ciò moltiplicando e dividendo per 2.

    

    e applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 3: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 4: Calcoliamo l'integrale:

    

    Se consideriamo:

    

    si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 5: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 6: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 7: Calcoliamo l'integrale:

    

    Moltiplicando e dividendo per 3 e applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 8: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 9: Calcoliamo l'integrale:

    

    Moltiplicando e dividendo per 4 e applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 10: Calcoliamo l'integrale:

    

    Moltiplicando e dividendo per 2 e applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 11: Calcoliamo l'integrale:

    

    Moltiplicando e dividendo per 3 e applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 12: Calcoliamo l'integrale:

    

    Dividendo ciascun termine del numeratore per 2^x e applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 13: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 14: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando le proprietà degli integrali e la formula si ha:

    

  • Esempio 15: Calcoliamo l'integrale:

    

    Con alcuni passaggi algebrici, applicando le proprietà degli integrali e la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 16: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 17: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 18: Calcoliamo l'integrale:

    

    Applicando la formula si ha:

    

  • Esempio 19: Calcoliamo l'integrale:

    

    Moltiplicando e dividendo per 3 e applicando la formula si ha:

    

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  Questa formula è ottenibile dall'integrale immediato

  

  sostituendo x con f(x) e dx con f'(x)dx.

  • Esempio 20: Calcoliamo l'integrale:

    

    Con alcuni passaggi algebrici, applicando le proprietà degli integrali e la formula si ha:

    

  • Esempio 21: Calcoliamo l'integrale:

    

    Portando 9 fuori radice, applicando le proprietà degli integrali e la formula si ha: