Cosa devi sapere sugli integrali indefiniti

Primitive

Si dice che la funzine F(x) è una primitiva della funzione f(x) in [a, b] se F(x) è derivabile in [a, b] e risulta:

F'(x) = f(x)    ∀ x ∈ [a, b]

Ad esempio F(x) = x² è una primitiva di f(x) = 2x in R essendo D[x²]=2x. Attenzione, la primitiva di una funzione non è unica. Ad esempio anche le funzioni:

G(x) = x² + 1;    H(x) = x² + 2;    I(x) = x² -3;    L(x) = x² + 5

sono primitive di f(x) = 2x poichè la derivata di una costante additiva è nulla.

In generale:

Se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche

G(x) = F(x) + c    ∀ c ∈ R

è una primitiva di f(x) essendo D[F(x) + c]=D[F(x)]=f(x).

Pertanto le primitive di una funzione in un intervallo I, se esistono, sono infinite e differiscono tra loro per una costante reale. Da un punto di vista geometrico le primitive di una funzione costituiscono un fascio di curve traslate verticalmente. Ad esempio, le primitive di f(x)=2x costituiscono un fascio di parabole e si passa da una parabola all'altra con una traslazione verticale.

Conoscendo un punto che appartiene ad una di queste parabole possiamo determinare la costante c che caratterizza una delle infinite primitive di f(x)=2x. Ad esempio, determiniamo la primitiva di f(x)=2x il cui grafico passa per il punto P(1, -3).

Essendo la primitiva F(x) = x² + c, imponendo il passaggio per il punto P(1, -3) si ottiene:

-3 = 1² + c → c = -4

e quindi la primitiva è F(x) = x² - 4