Cosa devi sapere sugli integrali indefiniti

Integrazione per parti

Siano f(x) e g(x) due funzioni continue assieme alla loro derivata prima nell'intervallo [a, b] e consideriamo la derivata del loro prodotto:

Integrando ambo i membri si ha:

Cioè:

E risolvendo rispetto a

si ottiene:

Questa relazione è detta formula di integrazione per parti.

Spesso questa formula viene utilizzata per trasformare un integrale in cui la funzione integranda è composta da due fattori (un fattore finito f(x) e un fattore differenziale g'(x)dx) in un altro integrale più semplice da calcolare.

Vediamo alcuni esempi:

• Esempio 1: Calcola:

  

  Ponendo f(x)=ln x come fattore finito g'(x)= xdx come fattore differenziale si ha:

  

  Sostituendo nella formula di integrazione per parte si ottiene:

  

• Esempio 2: Calcola:

  

  Ponendo f(x)=x come fattore finito g'(x)= sinxdx come fattore differenziale si ha:

  

  Sostituendo nella formula di integrazione per parte si ottiene:

  

• Esempio 3: Calcola:

  

  Ponendo f(x)=x come fattore finito g'(x)= e^3xdx come fattore differenziale si ha:

  

  Sostituendo nella formula di integrazione per parte si ottiene:

  

• Esempio 4: Calcola:

  

  Ponendo f(x)=x come fattore finito g'(x)= 1/cos²xdx come fattore differenziale si ha:

  

  Sostituendo nella formula di integrazione per parte si ottiene:

  

• Esempio 5: Calcola:

  

  Ponendo f(x)=x² come fattore finito g'(x)=e^xdx come fattore differenziale si ha:

  

  Sostituendo nella formula di integrazione per parte si ottiene:

  

  Applichiamo ancora il metodo dell'integrazione per parti all'integrale nel secondo membro ponendo f(x)=2x come fattore finito g'(x)=e^xdx come fattore differenziale