Integrazione per sostituzione
Gli integrali della forma
possono essere trasformati in integrali più semplici nella forma di integrali immediati
in cui figura la variabile ausiliaria t. Ciò si ottiene ponendo
t = g(x)
e sostituendo g'(x) dx con dt. Questo metodo di integrazione detto integrazione per sostituzione può essere utilizzato anche per risolvere integrali che non sono facilmente riconducibili a forme già note integrabili immediatamente. Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: Calcola:
Poniamo
t = ln x
e deriviamo entrambi i membri:
Sostituendo nell'integrale iniziale si ottiene:
Ritornando alla variabile x si ha:
Esempio 2: Calcola:
Poniamo
t = ln (x + 2)
e deriviamo entrambi i membri:
Sostituendo nell'integrale iniziale si ottiene:
Ritornando alla variabile x si ha:
Esempio 3: Calcola:
Poniamo
t = cos x
e deriviamo entrambi i membri:
dt = -sin x dx
Sostituendo nell'integrale iniziale si ottiene:
Ritornando alla variabile x si ha:
Esempio 4: Calcola:
Poniamo
t = sin x
e deriviamo entrambi i membri:
dt = cos x dx
Sostituendo nell'integrale iniziale si ottiene:
Ritornando alla variabile x si ha:
