Derivata di una funzione inversa
Si dice funzione inversa di una funzione y=f(x) quella che si ottiene scambiando di ruolo la x con la y e si indica con il simbolo:
x = f(y) oppure y =f-1(x)
Ad esempio data la funzione y = ln x la corrispondente funzione inversa è x = ln y. La funzione y=f(x) e la sua inversa x=f(y) hanno come grafico due curve simmetriche rispetto alla rette y=(x).
Componendo una funzione e la sua inversa si ottiene sempre la funzione y=x pertanto se indichiamo con h=g(y) la funzione inversa di y=f(x) possiamo scrivere:
g[f(x)] = x
Ora, se calcoliamo la derivata dei due membri dell'equazione precedente si ottiene:
g'[f(x)] ⋅ f'(x) = 1
poichè y=f(x) possiamo scrivere:
g'(y) ⋅ f'(x) = 1
e risolvendo rispetto a g'(y) si ha:
purchè risulti f'(x)≠0.
In generale se h=g(y) è l'inversa di una funzione derivabile y=f(x), per tutti i valori di x, per cui risulta f'(x)≠0 si ha:
Vediamo l'applicazione di questa regola con un esempio:
Calcolare la derivata della funzione inversa di y=√x
Se indichiamo con g(y) la funzione inversa di y=√x applicando la regola di derivazione della funzione inversa si ha:
La regola della derivazione di una funzione inversa ci permette di poter determinare la derivate della funzione arcoseno. La funzione inversa di y=arcsin x è x = sin y e quindi g(y)=sin y e applicando la regola si ottiene:
∀x ∈ (-1, 1).
Applicando lo stesso procedimento possiamo determinare le derivate delle inverse delle altre funzioni trigonometriche:
