Cosa devi sapere sulle derivate

Funzione derivata

Vediamo due esempi sul calcolo della derivata di una funzione:

• Esempio 1: Determinare la derivata della funzione y=x² nei suoi punti:

  a)P(1, 1);     b)Q(3, 9)
  

  Calcoliamo la derivata di y=x² nel punto P(1, 1):

  
  

  Calcoliamo la derivata di y=x² nel punto Q(3, 9):

  
  

• Esempio 2: Determinare la derivata della funzione y=x³ nel suo punto P(2, 8).
  
  Calcoliamo la derivata:

  
  

Come si vede dai due esempi il valore della derivata cambia in generale a seconda della funzione di partenza detta anche funzione primitiva e del punto nel quale si vuole calcolare la derivata. Pertanto, la derivata è essa stessa una funzione detta funzione derivata prima o semplicemente funzione derivata e come funzione ha un suo grafico, un suo dominio e delle caratteristiche proprie. Se una funzione f(x) è derivabile in ogni punto x dell'intervallo A si dice che la funzione è derivabile in A. Una volta determinata la funzione derivata prima f'(x) possiamo individuare il dominio dove f'(x) è a sua volta derivabile e determinare la derivata di f'(x) detta derivata seconda oppure derivata di ordine 2 di f(x) e indicarla con il simbolo f"(x). Con lo stesso procedimento possiamo determinare la derivata di ordine 3 e così via.

Inoltre, se poniamo:

x = x₀ + h

possiamo definire la derivata della funzione y=f(x) in un punto x₀ anche con la scrittura:

Ad esempio determiniamo la funzione derivata della funzione y=x² nel generico punto di ascissa x₀∈R.

Pertanto la derivata di y=x² è y^'=2x.