Derivate di alcune funzioni elementari
Determiniamo le formule di derivazione delle funzioni elementari applicando sempre lo stesso procedimento, ossia calcoliamo il limite per h→0 del rapporto incrementale. Queste formule ci permettono di poter determinare la derivata delle funzioni senza dover calcolare il limite del rapporto incrementale.
Funzione costante f(x) = k con x∈R
Calcoliamo:
Pertanto, la derivata di una funzione costante è uguale a zero:
f(x) = k → f'(x) = 0
Questo risultato ha una immediata interpretazione geometrica: il grafico della funzione f(x)=k è una retta parallela all'asse delle x e la tangente in ciascun punto di questa retta è a sua volta parallela all'asse delle x e quindi avrà coefficiente angolare uguale a zero. Ricordiamo che la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto.
Funzione identica f(x) = x con x∈R
Calcoliamo:
Pertanto, la derivata di una funzione identica è uguale a 1:
f(x) = x → f'(x) = 1
Anche questo risultato ha una immediata interpretazione geometrica: il grafico della funzione y=x è la bisettrice del I e III quadrante e la tangente in ciascun punto di questa retta coincide con la retta stessa che ha coefficiente angolare uguale a 1.
Funzione quadratica f(x) = x2 con x∈R
Calcoliamo:
Pertanto, la derivata di una funzione quadratica è uguale a 2x:
f(x) = x2 → f'(x) = 2x
Funzione cubica f(x) = x3 con x∈R
Calcoliamo:
Pertanto, la derivata di una funzione cubica è uguale a 3x2:
f(x) = x3 → f'(x) = 3x2
Funzione potenza f(x) = xn con n∈N; x∈R
Se consideriamo che:
Possiamo facilmente intuire che:
Funzione radice quadrata f(x) = √x con x>0
Ponendo la radice quadrata sotto forma di x elevato a 1/2:
possiamo poi applicare la regola della derivazione di una funzione potenza con n∈R:
Pertanto, la derivata di una funzione radice quadrata è uguale a una frazione che ha per numeratore 1 e per denominatore due radice di x:
Funzione esponenziale con base e: f(x) = ex
Calcoliamo:
Pertanto, la derivata di una funzione esponenziale con base e è uguale alla funzione primitiva:
f(x) = ex → f'(x) = ex
Questa è l'unica funzione in cui la coorispondente derivata è uguale alla funzione primitiva.
Funzione esponenziale con base a: f(x) = ax
Calcoliamo:
Pertanto si ha:
Funzione logaritmica naturale f(x) = ln x
Calcoliamo:
Pertanto si ha:
Funzione logaritmica
Effettuando il cambio di base dei logaritmi si ottiene:
Pertanto si ha:
Funzione seno f(x) = sin x
Calcoliamo:
pertanto si ha:
f(x) = sin x → f'(x) = cos x
Funzione coseno f(x) = cos x
Calcoliamo:
pertanto si ha:
f(x) = cos x → f'(x) = -sin x
