Regole di derivazione: funzioni composte
Una funzione si dice composta quando al posto della variabile x c'è un'altra funzione. Le funzione composte dette anche funzioni di funzioni sono indicate con la scrittura:
y = f[g(x)]
Ad esempio la funzione composta:
y = sin 3x
è formata dalla funzione esterna il seno e dalla funzione 3x interna al seno. In pratica questa funzione composta è costituita mediante le due funzioni f(x) = sin x e g(x) = 3x.
Anche per queste funzioni esiste una regola per calcolare la derivata della funzione composta conoscendo le derivate delle due funzioni componenti.
La derivata della funzione composta y=f[g(x)] è uguale alla derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, moltiplicata per la derivata della funzione più interna.y' = f'[g(x)] ⋅ g'(x)
Per comprendere questa regola vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: Calcolare la derivata di y = sin (3x2 + 1).
Applicando la regola bisogna calcolare prima la derivata della funzione più esterna e quindi la derivata del seno lasciando invariato la funzione più interna cioè l'argomento del seno e moltiplicare questo risultato intermedio per la derivata della funzione più interna quindi la derivata dell'argomento del seno, il risultato finale è:y' = cos (3x2 + 1) ⋅ 6x
Esempio 2: Calcolare la derivata di y = ln (sin x).
La funzione è costituita dalla funzioni esterna f(x)=lnx e dalla funzione interna g(x)=sinx. Bisogna, quindi, calcolare prima la derivata della funzione più esterna cioè la derivata del logaritmo naturale lasciando invariato l'argomento e moltiplicare questo risultato intermedio per la derivata della funzione più interna cioè la derivata dell'argomento del logaritmo:
Esempio 3: Calcolare la derivata di y = ex3.
La funzione è costituita dalla funzioni esterna f(x)=ex e dalla funzione interna g(x)=x3.
Questa regola si estende anche ai casi in cui le funzioni interne siano più di una; ad esempio date le funzioni:
y = f(x), z = g(x), u = h(x)
tutte derivabili, la funzione composta:
t = f{g[h(x)]}
ha per derivata:
f'{g[h(x)]} ⋅ g'[h(x)] ⋅ h'(x)
Esempio 4: Calcolare la derivata di y = sin[ln(3x)]
La funzione è composta dalle tre funzioni: f(x)=sin x, g(x)=ln x, h(x)=3x e applicando la regola si ottiene:
Esempio 5: Calcolare la derivata di
Applicando la regola si ottiene:
