Cosa devi sapere sulle derivate

Regole di derivazione: somma e prodotto

Esistono delle regole molto semplici per calcolare le derivate delle funzioni ottenute da quelle elementari con le operazioni di addizione o di moltiplicazione fra due o più funzioni derivabili. Una volta acquisito queste regole possiamo facilmente calcolare le derivate somma o prodotto di funzioni senza dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale per h→0.

• Derivata della somma di due funzioni:
  
  La derivata della somma di due funzioni p(x) e q(x) derivabili nel punto x è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni:

  Se f(x) = p(x) + q(x) allora f'(x) = p'(x) + q'(x)

  Dimostrazione:

  

  Questa regola può essere generalizzata anche alla derivata della somma di tre o più funzione.

  • Esempio 1: Calcolare la derivata della funzione f(x) = x³ + e^x
    
    f'(x) = 3x² + e^x

  • Esempio 2: Calcolare la derivata della funzione f(x) = 2^x + sin x
    
    f'(x) = 2^xln 2 + cos x

  • Esempio 3: Calcolare la derivata della funzione f(x) = ln x + cos x + 5
    
    f'(x) = 1/x - sin x + 0

• Derivata della differenza di due funzioni:
  
  La derivata della differenza di due funzioni p(x) e q(x) derivabili è uguale alla differenza delle derivate di queste funzioni:

  Se f(x) = p(x) - q(x) allora f'(x) = p'(x) - q'(x)

  La dimostrazione di questa regola è sostanzialmente uguale a quella della somma basta sostituire il segno di operazione + con il segno -. Inoltre, la regola della somma e la regola della differenza possono essere estese nella somma algebrica di due o più funzioni:
  
  la derivata della somma algebrica di due o più frazioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni.

  • Esempio 4: Calcolare la derivata della funzione f(x) = x³ - x²
    
    f'(x) = 3x² - 2x

  • Esempio 5: Calcolare la derivata della funzione f(x) = sin x - cos x
    
    f'(x) = cos x + sin x

  • Esempio 6: Calcolare la derivata della funzione f(x) = x - cos x + ln x
    
    f'(x) = 1 + sin x + 1/x

• Derivata del prodotto di due funzioni:
  
  La derivata del prodotto di due funzioni p(x) e q(x) derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata più la derivata della seconda funzione per la prima non derivata.

  Se f(x) = p(x) ⋅ q(x) allora f'(x) = p'(x) ⋅ q(x) + q'(x) ⋅ p(x)

  Dimostrazione:

  

  Questa regola si generalizza nei casi di proddoto di tre o più funzioni:
  
  La derivata di un prodotto di due o più funzioni derivabili è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando la derivata di ogni fattore per tutti i fattori rimanenti.

  Inoltre, nel caso particolare:

  f(x) = k ⋅ q(x)

  in cui una delle due funzioni è una costante applicando la regola del prodotto si ottiene:

  f'(x) = k ⋅ q'(x)

  Cioè: la derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.

  • Esempio 7: Calcolare la derivata della funzione f(x) = x³ ⋅ sin x
    
    f'(x) = 3x²sin x + x³cos x

  • Esempio 8: Calcolare la derivata della funzione f(x) = e^x ⋅ sin x
    
    f'(x) = e^xsin x + e^xcos x

  • Esempio 9: Calcolare la derivata della funzione f(x) = x² ⋅ √x ⋅ln x