Regole di derivazione: reciproco e quoziente
Esiste una regola anche per calcolare sia la derivata del reciproco di una funzione derivabile sia la derivata del quoziente di due funzioni derivabili.
Derivata del reciproco di una funzione:
La derivata del reciproco di una funzione f(x) derivabile per tutti i valori di x per cui f(x)≠0 è uguale alla frazione avente come numeratore l'opposto della derivata di f(x) e come denominatore il quadrato di f(x):
Dimostrazione:
Esempio 1: Calcolare la derivata del reciproco di f(x) = x2 + 1
Esempio 2: Calcolare la derivata del reciproco della funzione f(x) = ln x
Derivata del quoziente di due funzioni:
La derivata del quoziente di due funzioni p(x) e q(x) derivabili per tutti i valori di x per cui q(x)≠0 è uguale alla frazione avente come numeratore la differenza tra la derivata del numeratore per il denominatore non derivato e il numeratore non derivato per la derivata del denominatore e come denominatore il denominatore della funzione di partenza al quadrato:
Dimostrazione:
Si scrive il quoziente come prodotto e si applica la regola del prodotto fra due funzioni:
Esempio 3: Calcolare la derivata della funzione f(x) = tan x
Esempio 4: Calcolare la derivata della funzione f(x) = cotan x
