Cosa si deve sapere sull'ellisse

Ellissi traslate

Se trasliamo un'ellisse con un vettore otteniamo ancora un'ellisse, perchè una traslazione lascia invariate le distanze.

La traslazione lascia invarata la distanza focale e la somma costante delle distanze dei punti dell'ellisse dai fuochi. L'ellisse traslata però non ha più il centro nell'origine degli assi cartesiani e quindi l'equazione di un'ellisse traslata è diversa da quelle con centro nell'origine. Vediamo allora come possiamo determinare l'equazione di un'ellisse traslata. Consideriamo una generica ellisse con centro nell'origine degli assi:

e operiamo su di essa una traslazione con un vettore v(k, h). Le equazioni della traslazione sono:

Sostituiamo nell'equazione dell'ellisse alla x e alla y le relazione trovate:

Ora, eliminando gli apici si ottiene l'equazione dell'ellisse traslata:

dove a e b sono le misure dei semiassi.

Se a > b i fuochi F₁ e F₂ sono sulla retta y = h e hanno coordinate:

F₁(k-c, h); F₂(k+c, h)

Invece, se a < b i fuochi F₁ e F₂ sono sulla retta x = k e hanno coordinate:

F₁(k, h-c); F₂(k, h+c)

Possiamo scrivere l'equazione di un'ellisse traslata in un altro modo se sviluppiamo le operazioni:

Ponendo A=b², B=a², C=-2b²k, D=-2a²h, E=b²k²+a²h²-a²b² otteniamo l'equazione:

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

Le coordinate (k, h) del centro dell'ellisse traslata in funzine dei coefficienti dell'equazione dell'ellisse sono:

Vediamo due esempi:

• Esempio 1: Data l'ellisse di equazione:

  

  determina l'equazione dell'ellisse corrispondente alla traslazione di vettore v(2, 1) e rappresenta le due ellissi.
  
  Osserviamo che nell'ellisse iniziale a = 3 e b = 5, ed essendo b > a l'ellisse ha i fuochi sull'asse y. Essendo:

  

  le coordinate dei fuochi sono F₁(0, -4) e F₂(0, 4). Inoltre i vertici dell'ellisse sono:

  A₁(-3, 0), A₂(3, 0), B₁(0, -5), B₂(0, 5)
  

  L'equazioni dell'ellisse traslata con vettore v(2, 1) è:

  

  Sviluppando i calcoli si ottiene:

  

  Tutti i punti dell'ellisse iniziale subiscono la stessa traslazione ed essendo le equazioni della traslazione:

  x^' = x + 2 e y^' = y + 1
  

  possiamo determinare le coordinate del centro, dei fuochi e dei vertici dell'ellisse traslata:

  O^' =(0 + 2, 0 + 1)
  
  F^'₁(0 + 2, -4 + 1), F^'₂(0 + 2, 4 + 1)
  
  A^'₁(-3 + 2, 0 + 1), A^'₂(3 + 2, 0 + 1)
  
  B^'₁(0 + 2, -5 + 1), B^'₂(0 + 2, 5 + 1)
  

  Ecco il grafico delle due ellissi:

  

• Esempio 2: Rappresenta l'ellisse di equazione x² + 4y² + 2x + 8y + 4 = 0
  
  Primo metodo: applicazione delle formule.
  
  L'equazione dell'ellisse è del tipo Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 pertanto il centro di simmetria ha coordinate:

  

  Ne segue che gli assi hanno equazioni x = -1 e y = -1. Per determinare i vertici dell'ellisse mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse con l'asse x oppure con l'asse y:

  
  

  

  I semiassi maggiore e minore misurano rispettivamente:
  

  

  La semi distanza focale misura:
  

  

  I fuochi hanno coordinate:
  

  

  Ecco il grafico:
  
  

  

  Secondo metodo: completamento del quadrato.
  
  Riscriviamo l'equazione dell'ellisse raggruppando i termini con la x e quelli con la y
  

  (x² + 2x) + 4(y² + 2y) + 4 = 0
  

  Per ottenere il quadrato di un binomio all'interno di ogni parentesi aggiungiamo un opportuno termine noto e togliamo lo stesso termine fuori dalle parentesi. nel nostro caso il termine noto è per entrambe le parentesi +1:
  

  (x² + 2x +1) - 1 + 4(y² + 2y + 1) 4⋅(- 1) + 4 = 0
  
  (x + 1)² - 1 + 4(y + 1)² - 4 + 4 = 0
  
  (x + 1)² + 4(y + 1)² = 1
  
  

  che è della forma:
  

  

  Gli assi dell'ellisse sono quindi:
  

  x + 1 = 0 → x = - 1 e y + 1 = 0 → y = - 1
  

  Inoltre:
  

  O'(-1, -1), a² = 1 → a = 1, b² = 1/4 → b = 1/2, c² = a² - b² = 3/4
  

  I vertici hanno coordinate:
  

  

  I fuochi hanno coordinate: