Cosa si deve sapere sull'ellisse

Come determinare l'equazione di un'ellisse

Come possiamo determinare l'equazione di un'ellisse con centro di simmetria nell'origine e fuochi su uno degli assi cartesiani?

Le equazioni delle ellissi di questo tipo dipendono dai due parametri a e b pertanto sono necessarie due informazioni indipendenti. Queste due informazioni dette condizioni ci permettono di poter impostare un sistema di due equazioni nelle due incognite a e b. Ecco ad esempio alcune possibili condizioni:

• sono note le coordinate di un fuoco e di un vertice;
• sono note le lunghezze dei due semiassi;
• sono note le coordinate di due punti non simmetrici appartenenti all'ellisse;
• sono note le coordinate di un fuoco e l'eccentricità
• sono note le coordinate di un vertice e l'eccentricità
• sono note le coordinate di un punto appartenente all'ellisse e l'eccentrocità
• sono note le coordinate di un vertice e l'equazione di una retta tangente all'ellisse.

Vediamo tre tipologie di problemi:

• Problema 1:

  Determina l'equazione dell'ellisse che ha per vertici i punti A(-2, 0) e B(0, -√3).

  La conoscenza del vertice A(-2, 0) appartenente all'asse x ci informa che:

  2a = 4

  E quindi a² = 4. La conoscenza del vertice B(0, -√3) appartenente all'asse y ci informa che:

  2b = 2√3

  E quindi b² = 3. Pertanto l'equazione dell'ellisse è:

  

  Ecco il grafico:

  
• Problema 2:

  Determina l'equazione dell'ellisse passante per il punto A(√3, -1) e per il punto B(1, 3).

  Dalla condizione passaggio per A si ottiene l'equazione:

  

  Dalla condizione passaggio per B si ottiene l'equazione:

  

  Scriviamo il sistema costituito dalle due equazioni:

  

  Per risolvere più facilmente il sistema conviene porre:

  

  Con questo cambio di variabili il sistema diventa:

  

  che ha per soluzione:

  

  Tenendo conto del cambio di variabili effettuato si ottiene:

  

  Quindi l'equazione dell'ellisse è:

  

  Ecco il grafico:

  
• Problema 3:

  Determina l'equazione dell'ellisse tangente in A(1, -1) alla retta r di equazione y=3x-4.

  Conoscendo le coordinate del punto di tangenza possiamo applicare la formula di sdoppiamento:

  

  Cioè:

  

  Quest'ultima equazione rappresenta l'equazione della retta tangente all'ellisse nel punto A(1, -1) e quindi è equivalente alla retta r. Possiamo quindi confrontare le due equazioni. Consideriamo la retta r scritta nella forma:

  

  Dal confronto si desume che:

  

  da cui si ottiene:

  

  Pertanto l'equazione dell'ellisse è:

  Ecco il grafico: