Cosa si deve sapere sull'ellisse

Come determinare l'equazione di un'ellisse

Come possiamo determinare l'equazione di un'ellisse con centro di simmetria nell'origine e fuochi su uno degli assi cartesiani?

Le equazioni delle ellissi di questo tipo dipendono dai due parametri a e b pertanto sono necessarie due informazioni indipendenti. Queste due informazioni dette condizioni ci permettono di poter impostare un sistema di due equazioni nelle due incognite a e b. Ecco ad esempio alcune possibili condizioni:

• sono note le coordinate di un fuoco e di un vertice;

• sono note le lunghezze dei due semiassi;

• sono note le coordinate di due punti non simmetrici appartenenti all'ellisse;

• sono note le coordinate di un fuoco e l'eccentricità

• sono note le coordinate di un vertice e l'eccentricità

• sono note le coordinate di un punto appartenente all'ellisse e l'eccentrocità

• sono note le coordinate di un vertice e l'equazione di una retta tangente all'ellisse.

Vediamo tre tipologie di problemi:

• Problema 1: Determina l'equazione dell'ellisse che ha per vertici i punti A(-2, 0) e B(0, -√3).
  
  La conoscenza del vertice A(-2, 0) appartenente all'asse x ci informa che:

  2a = 4

  e quindi a² = 4. La conoscenza del vertice B(0, -√3) appartenente all'asse y ci informa che:

  2b = 2√3

  e quindi b² = 3. Pertanto l'equazione dell'ellisse è:

  Ecco il grafico:

  

• Problema 2: Determina l'equazione dell'ellisse passante per il punto A(√3, -1) e per il punto B(1, 3).
  
  Dalla condizione passaggio per A si ottiene l'equazione:

  Dalla condizione passaggio per B si ottiene l'equazione:

  Scriviamo il sistema costituito dalle due equazioni:

  Per risolvere più facilmente il sistema conviene porre:

  Con questo cambio di variabili il sistema diventa:

  che ha per soluzione:

  Tenendo conto del cambio di variabili effettuato si ottiene:

  Quindi l'equazione dell'ellisse è:

  Ecco il grafico:

  

• Problema 3: Determina l'equazione dell'ellisse tangente in A(1, -1) alla retta r di equazione y=3x-4.
  
  Conoscendo le coordinate del punto di tangenza possiamo applicare la formula di sdoppiamento:

  Cioè:

  Quest'ultima equazione rappresenta l'equazione della retta tangente all'ellisse nel punto A(1, -1) e quindi è equivalente alla retta r. Possiamo quindi confrontare le due equazioni. Consideriamo la retta r scritta nella forma:

  Dal confronto si desume che:

  da cui si ottiene:

  Pertanto l'equazione dell'ellisse è:

  Ecco il grafico: