Teorema del resto e del fattore
Come abbiamo visto precedentemente la divisione
(x3 − 2x2 − 7) : (x − 3)
eseguita con la regola di Ruffini dà resto 2.
Calcoliamo il valore che assume il polinomio dividendo A(x) per x = 3 cioè per x uguale all'opposto del termine noto del polinomio divisore:A(3) = 33− 2 ⋅ 32 − 7 = 27 − 18 − 7 = 2
Come si vede il valore assunto dal polinomio per x = 3 coincide con il resto della divisione. Questo risultato non è una pura coincidenza ma è del tutto generale ed è noto come teorema del resto:
Se A(x) è un polinomio nella variabile x e a è un numero reale si ha A(a) = r dove r è il resto della divisione A(x) : (x − a).
Dimostriamo il teorema del resto. Applichiamo a A(x) e a B(x)=x-a l'algoritmo di divisione; troveremo due polinomi Q(x) e R(x) tali cheA(x) = Q(x)(x - a) + R(x)
dove R(x), il resto, è un polinomio di grado minore del divisore x-a oppure è il polinomio nullo (cioè zero). Poichè x-a ha grado 1, R(x) ha grado zero, quindi è una costante, oppure è il polinomio nullo, cioè è la costante zero. In ogni caso il resto R(x) è una costante che possiamo indicare con r, dunque
A(x) = Q(x)(x - a) + r
Ora calcoliamo A(x) per x = a. Si ha
A(a) = Q(a)(a - a) + r
cioè
A(a) = Q(a) ⋅ 0 + r = r
In sostanza ci sono due modi diversi per calcolare il valore di una funzione: operando una sostituzione (il solito metodo), oppure utilizzando l'algoritmo di divisione.
Come sappiamo i valori di x che rendono il polinomio A(x) = 0 sono detti zeri del polinomio. Ad esempio, gli zeri diA(x) = x2 + 2 x − 3
sono 1 e − 3 infatti:
A(1) = 12 + 2 ⋅ 1 − 3 = 0; A(− 3) = (− 3)2 + 2 ⋅ (− 3) − 3 = 0
Dal teorema del resto segue un secondo teorema noto come Teorema del fattore che stabilisce una notevole relazione tra l'esistenza di zeri di un polinomio e la divisibilità per fattori lineari cioè di primo grado.
Se a ∈ R è uno zero di un polinomio A(x), cioè A(a) = 0 allora A(x) è divisibile per (x − a).
Dimostriamo il teorema del fattore. Supponiamo che a sia uno zero del polinomio, sia cioè
A(a) = 0
Per il teorema precedente si ha che il resto r della divisione di A(x) per x-a è proprio A(a) che, per ipotesi, è zero. Quindi A(x) è divisibile per x-a.
Supponiamo, viceversa, che A(x) sia divisibile per x-a; sia cioè
A(x) = Q(x)(x - a)
Calcolando il valore di A(x) per x=a si ha
A(a) = Q(a)(a - a) = Q(a) ⋅ 0 = 0
e dunque a è uno zero di A(x).
Ne segue che il polinomio A(x) = x2 + 2 x − 3 avente per zeri del polinomio i numeri 1 e − 3 è divisibile sia per (x − 1) sia per (x + 3).
Questo risultato è notevole perchè ci fornirà, come vedremo, delle informazioni sul numero degli zeri di un polinomio. La ricerca degli zeri di un polinomio è un problema centrale dell'algebra ed è generalmente di non facile soluzione.
