MCD e mcm di polinomi
Il massimo comune divisore fra due o più numeri naturali è il più grande dei divisori comuni ai numeri considerati. In modo analogo possiamo definire il massimo comune divisore fra polinomi:
Il massimo comune divisore fra due o più polinomi è il polinomio di grado massimo tra i divisori di tutti i polinomi considerati.
Per determinare il MCD fra polinomi possiamo utilizzare lo stesso procedimento per calcolare il MCD fra numeri naturali; cioè:
scomporre i polinomi in fattori irriducibili;
prendere i fattori irriducibili comuni, presi una sola volta, con l'esponente minimo;
eseguire il loro prodotto.
Ad esempio, determiniamo MCD dei due polinomi:
x3 − 3x − 2; 3x3 − 2x2 − x + 2
Scomponiamo in fattori i due polinomi:
x3 − 3x − 2 = (x + 1)2(x - 2)
3x3 − 2x2 − x + 2 = (x + 1)(x - 2)(x - 1)
I fattori comuni con l'esponente minimo sono quindi:
(x + 1) e (x - 2)
Per cui:
MCD(x3 − 3x − 2, 3x3 − 2x2 − x + 2) = (x + 1)(x - 2)
Analogamente al mcm fra due o più numeri naturali definiamo:
Il minimo comune multiplo fra due o più polinomi è il polinomio di grado minimo che è divisibile per tutti i polinomi considerati.
Per determinare il mcm fra polinomi possiamo utilizzare lo stesso procedimento per calcolare il mcm fra numeri naturali; cioè:
scomporre i polinomi in fattori irriducibili;
prendere tutti i fattori irriducibili comuni e non comuni, presi una sola volta, con l'esponente massimo;
eseguire il loro prodotto.
Ad esempio, determiniamo mcm dei due polinomi utilizzati per il MCD. La loro scomposizione è:
x3 − 3x − 2 = (x + 1)2(x - 2)
3x3 − 2x2 − x + 2 = (x + 1)(x - 2)(x - 1)
I fattori comuni e non comuni con l'esponente maggiore sono quindi:
(x + 1)2, (x - 2), (x - 1)
Per cui:
mcm(x3 − 3x − 2, 3x3 − 2x2 − x + 2) = (x + 1)2(x - 2)(x - 1)
