Cosa si deve sapere sui polinomi (seconda parte)

Divisione di un polinomio per un monomio

Per i numeri reali vale la proprietà distributiva "a destra" della divisione rispetto all'addizione algebrica, ad esempio

(16 + 8 - 12) : 4 = (16 : 4) + (8 : 4) + (-12 : 4) = 4 + 2 - 3 = 3

E ricordando che un polinomio e un monomio rappresentano entrambi un numero reale, possiamo utilizzare la stessa proprietà per eseguire la divisione, se è possibile, di un polinomio per un monomio riconducendola alla divisione di monomi. Ad esempio

Applicando la proprietà distribuitiva abbiamo diviso ciascun termine del polinomio per il monomio 3xy; in questo caso tutti i termini del polinomio sono divisibili per 3xy e allora anche il polinomio è divisibile per 3xy. Il risultato è il polinomio quoziente

xy²z² + 2y - 1

Possiamo anche verificare che il prodotto del polinomio quoziente per il monomio divisore 3xy è uguale al polinomio dividendo

(xy²z² + 2y - 1)3xy = 3x²y³z² + 6xy² − 3xy

Naturalmente può accadere che uno o più termini del polinomio dividendo non siano divisibili per il monomio divisore, come ad esempio nella divisione:

(a³b² + a²b² − ab) : 3ab²

Dove l'ultimo termine del polinomio non è divisibile per il monomio divisore. In questo caso la divisione non è eseguibile all'interno dell'insieme dei polinomi.

In generale:

Un polinomio è divisibile per un monomio quando tutti i suoi termini sono divisibili per il monomio. In tal caso il quoziente tra un polinomio e un monomio è il polinomio che si ottiene dividendo ogni termine del polinomio per il monomio.

Ad esempio:

Quando esiste il polinomio quoziente il suo grado è uguale alla differenza dei gradi del polinomio dividendo e del monomio divisore.