Fattorizzazione mediante ricerca di zeri
Sappiamo che se a è uno zero di un polinomio A(x) allora A(x) è divisibile per
(x − a)
cioè possiamo trasformare A(x) in un prodotto di polinomi:
A(x) = Q(x)(x − a)
dove Q(x) è il polinomio quoziente esatto della divisione A(x) : (x − a). Inoltre, Q(x) può, eventualmente, essere di nuovo scomposto in fattori se A(x) ha più di uno zero. Il problema della scomposizione di un polinomio A(x) si trasforma quindi nella ricerca degli zeri del polinomio. Ma come facciamo a trovare gli zeri di un polinomio? E' stato dimostrato che:
se un polinomio A(x) a coefficienti interi ha uno zero a intero (non nullo) allora a è sicuramente un divisore, positivo o negativo del termine noto di A(x).
Questo teorema riduce la ricerca degli zeri interi a un numero finito di possibilità e rende vantaggioso il metodo della ricerca degli zeri. Ad esempio il polinomio:A(x) = 3x3 + 2x2 − 4x − 3.
ha come termine noto − 3. I divisori positivi o negativi di − 3 sono quattro:
− 3, − 1, 1, 3.
Ora, se A(x) ha zeri interi sono da ricercare tra questi quattro numeri:
1) A(−3) = 3⋅(−3)3 + 2(−3)2 − 4(−3) −3 = − 81 + 18 + 12 − 3 = − 54
2) A(−1) = 3⋅(−1)3 + 2(−1)2 − 4(−1) − 3 = − 3 + 2 + 4 − 3 = 0
3) A(1) = 3⋅(1)3 + 2(1)2 − 4(1) − 3 = 3 + 2 − 4 − 3 = − 2
4) A(3) = 3⋅(3)3 + 2(3)2 − 4(3) − 3 = 81 + 18 − 12 − 3 = − 84
Poichè solo A(−1) è uguale a 0, possiamo concludere che A(−1) ha un solo zero intero, x = −1. E quindi A(x) è divisibile per (x + 1). A questo punto utilizzando la regola di Ruffini eseguiremo la divisione e otterremo la scomposizione:
A(x) = 3x3 + 2x2 − 4x − 3 = (x + 1)(3x2 − x − 3)
Il metodo della scomposizione di un polinomio mediante la ricerca dei suoi zeri interi può essere esteso anche per i suoi zeri razionali:
se un polinomio A(x) a coefficienti interi ha uno zero razionale m/n (non nullo) con m e n primi tra loro, allora m è necessariamente un divisore, positivo o negativo del termine noto di A(x) ed n è necessariamente un divisore, positivo o negativo del coefficiente di grado più alto di A(x).
Ad esempio consideriamo il polinomio:A(x) = 4x3 − 2x2 + 2x − 1.
Le eventuali radici intere sono da ricercare tra i due numeri: −1 e 1. Ma sia A(−1) che A(1) non si annullano; vediamo allora se A(x) ha zeri razionali. Gli eventuai zeri razionali, se ci sono, vanno ricercati tra i numeri:
E di questi numeri solo 1/2 è uno zero del polinomio e quindi A(x) è divisibile per (x − 1/2).
Con la regola di Ruffini possiamo determinare Q(x) e quindi scomporre A(x):
Il teorema del resto abbinato alla regola di Ruffini ci consentono di scomporre in fattori particolari binomi che sono somma o differenza di potenze di ugual grado:
an + bn; an − bn
Consideriamo ad esempio la somma di due cubi:
a3 + b3
Per il teorema del resto si intuisce che se a = −b allora
(−b)3 + b3 = 0
Quindi il polinomio
a3 + b3
è divisibile per (a + b) e con la regola di Ruffini possiamo ottenere la scomposizione:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Consideriamo ora la differenza di due cubi:
a3 − b3
Per il teorema del resto si intuisce che se a = b allora
(b)3 − b3 = 0
Quindi il polinomio
a3 − b3
è divisibile per (a − b) e con la regola di Ruffini possiamo ottenere la scomposizione:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
