Scomposizione di un polinomio in fattori
Come sappiamo, ogni numero naturale non primo può essere scomposto in fattori primi, cioè può essere espresso come prodotto di fattori primi. Un discorso concettualmente molto simile si può fare per i polinomi.
Un polinomio è riducibile se può essere fattorizzato nel prodotto di due polinomi di grado inferiore al suo grado; in caso contrario il polinomio è irriducibile o primo. Ad esempio, il polinomio x2 − 4 è riducibile infattix2 − 4 = (x + 2)(x − 2)
Invece il polinomio x2 + 1 è irriducibile. Stabilire se un polinomio sia riducibile o meno e, in caso affermativo, cercare i suoi fattori non è facile perchè non esiste un metodo generale valido per tutti i polinomi. Ci sono, però, dei criteri utili che possono essere applicati a determinati tipi di polinomi:
Raccoglimento totale a fattore comune
E' il metodo più semplice e si applica quando tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune. Ad esempio nel polinomio
3x4 + 2x2 + x
tutti i termini hanno x come fattore comune. Potremo allora raccogliere il fattore comune x, grazie alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
3x4 + 2x2 + x = x(3x3 + 2x + 1)
Raccoglimento parziale
Si applica quando i termini di un polinomio, pur non avendo un fattore comune a tutti, presentano fattori comuni in gruppi di termini. Si può allora effettuare un primo raccoglimento parziale per gruppi di termini in modo da ottenere un polinomio nel quale è poi possibile effettuare un raccoglimento a fattor comune totale. Ad esempio, nel polinomio
3ax + 3ay − 4x − 4y
i quattro termini non hanno un fattore comune, ma ci sono fattori comuni a gruppi di due termini; si può quindi raccogliere il fattore comune x tra il primo e il terzo monomio e y tra il secondo e il quarto. Il polinomio risultante
x(3a − 4) + y(3a − 4)
ha come fattore comune il binomio (3a − 4) che può essere raccolto in
(3a − 4)(x + y).
In questo caso è possibile procedere anche in un altro modo. Raccogliere 3a tra il primo e il secondo monomio e − 4 tra il terzo e il quarto e successivamente raccogliere il binomio comune (x + y). Ovviamente il risultato finale è lo stesso.
fattorizzazione mediante prodotti notevoli
I prodotti notevoli se sono visti da destra verso sinistra rispetto al segno di uguaglianza rappresentano la scomposizione di particolari polinomi.
Differenza di due quadrati
Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi quadrati allora possiamo scomporlo nel prodotto della somma di due monomi per la loro differemnza. Ad esempio:
Trinomio quadrato di un binomio
Se in un trinomio due termini sono quadrati di monomi e il terzo termine è il doppio prodotto delle rispettive basi allora possiamo scomporlo nel quadrato di un binomio. Ad esempio:
Quadrinomio cubo di un binomio
Se in un quadrinomio due termini sono cubi di monomi e gli altri due termine sono i tripli prodotti del quadrato di una delle due basi per l'altra allora possiamo scomporlo nel cubo di un binomio. Ad esempio:
Particolari trinomi
Non tutti i trinomi di secondo grado sono lo sviluppo di un quadrato di un binomio. Alcuni trinomi sono del tipo
x2 + sx + p
dove s e p sono rispettivamente la somma algebrica e il prodotto di una stessa coppia di numeri (s = a + b; p = a ⋅ b). Questi tipi di polinomi si scompongono in
(x + a)(x + b)
Ad esempio per scomporre trinomio
x2 + 7x + 12
dobbiamo trovare due numeri a e b, se esistono, tali che la loro somma sia 7, cioè il coefficiente di x, e il loro prodotto sia 12, cioè il termine noto. Non è difficile capire che i due numeri sono 3 e 4 per cui la scomposizione del trinomio è:
