Divisione di polinomi
Nella divisione tra due numeri naturali m : n con n non nullo, è sempre possibile trovare, in modo unico, due numeri naturali q e r in modo da ottenere l'uguaglianza:
m = q ⋅ n + r con r = 0 oppure con r < n
Ad esempio se m = 19 e n = 5 si ha
19 : 5 = 3 ⋅ 5 + 4
Una proprietà analoga sussiste nella divisione tra polinomi in una variabile.
Se A(x) e B(x) sono due polinomi nella variabile x e B(x) non è il polinomio nullo allora è sempre possibile trovare, in modo unico, due polinomi Q(x) ed R(x), rispettivamente quoziente e resto, in modo da ottenere l'uguaglianza:A(x) = Q(x) ⋅ B(x) + R(x)
con R(x) = 0 oppure con il grado di R(x) minore del grado di B(x).
Se R(x) è uguale a 0 il polinomio A(x) è divisibile per il polinomio B(x) e il polinomio Q(x) è detto quoziente esatto. Ad esempio, il polinomio:2x2 + 3x − 2
è divisibile per il polinomio x + 2 e il quoziente esatto è il polinomio 2x − 1:
2x2 + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2)
Invece il polinomio 4x3 + x + 1 non è divisibile per il polinomio 2x + 3 il quoziente è il polinomio 2x2 − 3x + 5 e il resto è il polinomio − 14:
4x3 + x + 1 = (2x2 − 3x + 5)(2x + 3) − 14
Per determinare il quoziente e il resto della divisione tra due polinomi si utilizza un procedimento simile a quello che viene utilizzato per la divisione tra due numeri naturali.
Ad esempio, dividiamo il polinomio A(x) = 6x5 − 13x3 + 7x + 3 per il polinomio B(x) = 2x2 − 3.
Primo passo: Innanzitutto è necessario che i due polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti di x, poi se il polinomio A(x) è incompleto va completato inserendo i termini mancanti (quelli di quarto e secondo grado) con coefficiente nullo, infine si scrivono i due polinomi secondo lo schema:
Secondo passo: Si divide il primo termine di A(x) per il primo termine di B(x):
6x5 : 2x2 = 3x3
il risultato è il primo termine del quoziente e va disposto sotto B(x). Si moltiplica poi 3x3 per ogni termine di B(x):
(3x3)(2x2 − 3) = 6x5 − 9x3 = 6x5 + 0x4 − 9x3 + 0x2 + 0x
Il risultato va disposto in colonna con i segni cambiati sotto i termini di grado uguale del polinomio A(x) e si effettua la somma algebrica.
6x5 − 13x3 + 7x + 3 − (6x5 + 0x4 − 9x3 + 0x2 + 0x) = − 4x3 + 0x2 + 7x + 3
il risultato della somma algebrica è il primo resto parziale C(x).
Terzo passo: Si ripete la procedura del secondo passo; si divide il primo termine di C(x) per il primo termine di B(x).
− 4x3 : 2x2 = − 2x
Il risultato è il secondo termine del quoziente. Si moltiplica − 2x per ogni termine di B(x) e si sottrae il risultato a C(x).
(2x2 − 3)(− 2x) = (− 4x3 + 6x) = − 4x3 + 0x2 + 6x;
(− 4x3 + 0x2 + 7x + 3)−(− 4x3 + 0x2 + 6x) = x + 3
Il procedimento termina perchè il grado di x + 3 è minore del grado di B(x). Pertanto il risultato della divisione è:
Q(x) = 3x3 − 2x e R(x) = x + 3
In questo caso, il resto il resto R(x) non è nullo e quindi il quoziente Q(x) non è esatto, in altri casi potrebbe accadere, però, che sviluppando il procedimento si pervenga a un resto nullo e quindi a un quoziente esatto. Il grado del polinomio quoziente è uguale alla differenza tra il grado del dividendo e quello del divisore. Nel nostro caso 5 − 2 = 3.
Verifica: Per controllare se la divisione è stata eseguita correttamente si moltiplica il polinomio quoziente per il polinomio divisore e al risultato si aggiunge il polinomio resto.Q(x) ⋅ B(x) + R(x) = (3x3 − 2x)(2x2 − 3) + x + 3 = 6x5 − 13x3 + 7x + 3
In conclusione l'insieme dei polinomi in una variabile non è chiuso rispetto alla divisione.
