Le progressioni come modelli matematici
Le progressioni aritmetiche o geometriche rappresentano dei modelli matematici per analizzare fenomeni naturali, sociali e economici che presentano un andamento di crescita o di recessione progressiva. Ad esempio, la rendita di un investimento finanziario, l'accrescimento di una data popolazione, il decadimento radioattivo, la disponibilità delle risorse naturali nell'ipotesi che ogni anno vi sia un incremento costante.
Analizziamo due tipi di investimenti finanziari:
Capitalizzazione semplice
L'interesse i maturato a fine anno non viene sommato al capitale C investito e quindi non produce altri interessi l'anno successivo e il montante M (capitale+interesse) ottenuto ogni anno si calcola sempre sulla base del capitale investito. Fatte queste premesse, se si investe un capitale C, ad un tasso di interesse i
dopo 1 anno il montante diventa: M1 = C + iC
dopo 2 anni il montante diventa: M2 = C + 2iC
dopo 3 anni il montante diventa: M3 = C + 3iC
dopo n anni il montante diventa: Mn = C + niC
e la successioneM1, M2, M3, ..., Mn
costituisce una progressione aritmetica di ragione iC e quindi possiamo applicare tutte le proprietà delle progressioni aritmetiche.
Capitalizzazione composta
L'interesse i maturato a fine anno viene sommato al capitale C investito e quindi produce altri interessi l'anno successivo e il montante M (capitale+interesse) ottenuto ogni anno si calcola sulla base del capitale più l'interesse maturato. Fatte queste premesse, se si investe un capitale C, ad un tasso di interesse i
dopo 1 anno il montante diventa: M1 = C(1 + i)
dopo 2 anni il montante diventa: M2 = C(1 + i)2
dopo 3 anni il montante diventa: M3 = C(1 + i)3
dopo n anni il montante diventa: Mn = C(1 + i)n
e la successioneM1, M2, M3, ..., Mn
costituisce una progressione geometrica di ragione (1 + i) e quindi possiamo applicare tutte le proprietà delle progressioni geometriche.
Crescita di una singola popolazioni: modello di Malthus.
Thomas Robert Malthus (1766-1834) nel suo libro "Saggio sul principio di popolazione" descrive la crescita di una singola popolazione che si basa sul principio:
la popolazione umana cresce in modo geometrico mentre le risorse a sua disposizione aumentano solo in modo aritmetico.
Il modello di Malthus si basa su una situazione ideale dove viene presa in considerazione una singola popolazione di individui isolata (non è soggetta ad immigrazione ed emigrazione) che ha a sua disposizione sia cibo che spazio a sufficienza. In queste condizioni la variazione del numero di individui dipende esclusivamente solo dal numero di nascite e di morti.
Se N è il numero di individui di questa popolazione in un determinato anno e r è il tasso di crescita annuale della popoazione espresso in percentuale, si ha:
dopo 1 anno il numero di individui diventa: N1 = N(1 + r)
dopo 2 anno il numero di individui diventa: N2 = N(1 + r)2
dopo 3 anno il numero di individui diventa: N3 = N(1 + r)3
dopo n anno il numero di individui diventa: Nn = N(1 + r)n
e la successioneN1, N2, N3, ..., Nn
costituisce una progressione geometrica di ragione (1 + r) e quindi possiamo applicare tutte le proprietà delle progressioni geometriche.
Dal modello si deduce che:
se r = 0 la popolazione resta invariata;
se r > 0 la popolazione tende a una crescita illimitata;
se r < 0 la popolazione tende ad estinguersi.
Questo modello pur essendo molto semplice e ideale si adatta bene sia a una colonia di batteri o di cellule nei casi in cui la popolazione presa in esame è all'inizio della sua crescita ed "invade" o "colonizza" un nuovo ambiente.
Decadimento radioattivo: datazione di un fossile.
Alcune sostanze come l'uranio e il plutonio sono dette radioattive perchè hanno il nucleo dell'atomo instabile e per raggiugere uno stato di maggiore stabilità emettono spontaneamente delle particelle e questo fenomeno è chiamato decadimento radioattivo.
Si è osservato che le sostanze radioattive decadono progressivamente e il tempo necessario perchè un campione di sostanza radioattiva, mediante decadimento, dimezzi il numero dei suoi atomi è chiamato tempo di dimezzamento. Il tempo di dimezzamento per alcune sostanze è elevato, mentre per altri può essere di qualche minuto. Il decadimento radioattivo può essere rappresentato dalla progressione geometrica:
dove Nn è la quantità della sostanza radioattiva dopo n tempi di dimezzamento, N0 è la quantità della sostanza radioattiva iniziale.
In archeologia il decadimento radioattivo viene utilizzato per la datazione di fossili di origine organica. Questo metodo si basa sul decadimento di un isopoto radioattivo del carbonio 12; il carbonio 14 che ha un tempo di dimezzamento pari a 5730 anni. Da vivi tutti gli animali e tutti i vegetali contengono sia il carbonio 12 (stabile) sia il carbonio 14 (instabile) in un rapporto costante e uguale al rapporto fra carbonio 12 e carbonio 14 presente nell'atmosfera perchè tutti gli esseri viventi scambiano continuamente carbonio con l'ambiente circostante. Dopo la morte non essendoci più lo scambio del carbonio con l'ambiente esterno il rapporto tra il carbonio 12 e il carbonio 14 cambia perchè il carbonio 12, essendo stabile, rimane immutato mentre il carbonio 14 inizia a decadere trasformandosi in atomi di azoto. Possiamo quindi datare un reperto calcolando semplicemente il rapporto tra il carbonio 12 e il carbonio 14 presente nel fossile. Dalla variazione del rapporto si risale al tempo trascorso dalla morte.
