Cosa devi sapere sulle successioni numeriche

Le progressioni aritmetiche

Una successione aritmetica in cui è costante la differenza fra un termine e il suo precedente è detta progressione aritmetica. La differenza costante fra un termine e il suo precedente viene chiamata ragione della progressione e viene indica con d. Ad esempio la successione:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

è una progressione aritmetica: il primo termine è 1, la ragione è d = 2 e il termine generico è a_n = 2n + 1.

La successione dei cubi dei numeri naturali diversi da zero:

1, 8, 27, 64, 125, ...

non è una progressione aritmetica perchè non è costante la differenza fra un termine e il suo precedente:

8 - 1 = 7;     27 - 8 = 19     64 - 27 = 37

Una progressione aritmetica di ragione d è:

• crescente (tende a +∞) se d > 0.
  
  Ad esempio la progressione 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... di ragione d = 4 è crescente.

• decrescente (tende a -∞) se d < 0.
  
  Ad esempio la progressione 1, -7, -15, -23, -31, -39, ... di ragione d = -8 è decrescente.

• costante se d = 0.
  
  Ad esempio la progressione 4, 4, 4, 4, 4, 4, ... di ragione d = 0 è costante.

Le progressioni aritmetiche hanno particolari proprietà:

• Relazione tra il primo termine a₁ e il termine generico a_n.
  

  Se consideriamo una progressione di ragione d = 5 e di primo termine 2 si ha:
  

  2, 2+5, 2+5+5, 2+5+5+5, 2+5+5+5+5, ..., 2+5(n-1), ...
  

  Possiamo anche scrivere:
  

  
  

  Si intuisce che il termine generico risulta:
  

  a_n = a₁ + d(n - 1)
  

  Da questa relazione è possibile calcolare il termine generico a_n, oppure il primo termine a₁, oppure la ragione d, oppure l'indice n di un termine.
  

  
  

  In altre parole in una progressione aritmetica esistono delle relazioni tra i quattro numeri: a_n, a₁, d, n e conoscendo tre di questi numeri è possibile determinare il quarto numero.
  
  Esempio 1: Qual è la progressione aritmetica che ha per primo termine 5 e per ottavo termine 26?
  
  Si conoscono: a_n = 26, a₁ = 5, n = 8, possiamo quindi determinare d
  

  
  

  Possiamo ora scrivere la progressione aritmetica:
  

  5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ...
  

  Esempio 2: Data la progressione di primo termine 4 e di ragione 3 qual è il centesimo termine della successione?
  
  Si conoscono: a₁ = 4, d = 3, n = 100, possiamo quindi determinare a₁₀₀
  

  a₁₀₀ = a₁ + d(100 - 1) = 4 + 3⋅99 = 301
  

• Relazione tra due qualsiasi termini della progressione aritmetica.
  
  Consideriamo ancora la progressione di ragione d = 5 e di primo termine 2:
  

  2, 2+5, 2+5+5, 2+5+5+5, 2+5+5+5+5, ..., 2+5(n-1), ...
  

  e chiediamoci: esiste una possibile relazione tra due qualunque termini? Ad esempio esiste una relazione tra a₅ e a₂?
  
  Consideriamo la differenza tra i due termini:
  

  a₅ - a₂ = 2+5+5+5+5 - (2+5) = 5+5+5 = 5(5-2)
  

  Cioè la differenza tra a₅ e a₂ è uguale al prodotto della ragione d per la differenza tra i due indici dei termini considerati. In generale se a_t e a_s sono due termini di una progressione aritmetica e t > s vale:
  

  a_t = a_s + (t - s)d
  

  Questa relazione permette di calcolare la ragione di una progressione conoscendo due termini qualsiasi e il posto che essi occupano nella progressione.
  

  
  

  Esempio 3: Qual è il termine a₉ di una progressione se a₄=12 e a₈=28?
  
  Si conoscono: a₄ = 12, a₈ = 28 possiamo quindi determinare d e poi a₉
  

  
  

• Relazione fra tre termini consecutivi.
  
  Consideriamo tre termini consecutivi a_n-1, a_n, a_n+1 di una progressione aritmetica. Per definizione si ha:
  

  a_n - a_n-1 = a_n+1 - a_n
  

  Cioè
  

  2a_n = a_n+1 + a_n-1
  

  da cui
  

  
  

  In generale,
  
  in una progressione aritmetica ogni termine, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica tra quello precedente e quello successivo.
  

  Esempio 4: Inserire quattro medi aritmetici fra i numeri 5 e 25.
  
  La successione sarà:
  

  5, a₂, a₃, a₄, a₅, 25, ...
  

  Calcoliamo la ragione d:
  

  
  

  Calcoliamo i medi:
  

  a₂ = 5 + 4 = 9;   a₃ = 9 + 4 = 13;   a₄ = 13 + 4 = 17;   a₅ = 17 + 4 = 21
  

• Somma di due termini equidistanti dagli estremi.
  
  Consideriamo i primi otto termini di una progressione di estremi 6 e 62 e di ragione 8:
  

  6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, 62
  

  I termini 14 e 54 sono equidistanti dai due estremi e sono equidistanti dagli estremi anche le coppie 22 e 46, 30 e 38. Ora, se sommiamo ogni coppia equidistante dagli estremi:
  

  14 + 54 = 68;   22 + 46 = 68;   30 + 38 = 68
  

  otteniamo la stessa somma che è uguale alla somma dei termini estremi.
  
  In generale,
  
  se consideriamo un numero finito di termini consecutivi di una progressione aritmetica, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi.