Cosa devi sapere sulle successioni numeriche

Le progressioni geometriche

Una successione aritmetica in cui è costante il quoziente fra un termine e il suo precedente è detta progressione geometrica. Il rapporto costante fra un termine e il suo precedente viene chiamato ragione della progressione e viene indica con q. Ad esempio la successione:

1, 4, 16, 64, 256, 1024, ...

è una progressione geometrica di ragione q = 4 e ogni termine si ottiene moltiplicando per 4 il termine precedente.

Invece la successione dei quadrati dei numeri naturali diverso da zero

1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

non è una progressione geometrica.

In generale, in una progressione geometrica di ragione q un termine qualunque si ottiene dal precedente moltiplicando per q oppure dal seguente dividendo per q.

Da ciò si deduce che in una progressione geometrica di ragione q i termini sono tutti positivi o negativi se q > 0, mentre sono alternativamente di segno opposti se q < 0 e nessun termine della progressione geometrica può essere uguale a zero.

Una progressione geometrica di ragione q è:

• crescente se q > 1 e i termini sono positivi, oppure se 0 < q < 1 e i termini sono negativi.
  
  Ad esempio la progressione 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... di ragione q = 2 è crescente.
  
  E' crescente anche la progressione di ragione q=1/2.

• decrescente se 0 < q < 1 e i termini sono positivi, oppure se q > 1 e i termini sono negativi.
  
  Ad esempio, la progressione di ragione q=1/2 è decrescente.
  
  Ed è decrescente anche la progressione -2, -6, -18, -54, -162, ... di ragione q = 3.

• costante se q = 1.
  
  Ad esempio la progressione 4, 4, 4, 4, 4, 4, ... di ragione q = 1 è costante.

Vediamo alcune proprietà delle progressioni geometriche:

• Relazione tra il primo termine e l'ennesimo termine.
  

  Se consideriamo una progressione geometrica di ragione q = 3 e di primo termine 2 si ha:
  

  2, 2⋅3, 2⋅3², 2⋅3³, 2⋅3⁴, ..., 2⋅3^n-1, ...
  

  Possiamo anche scrivere:
  

  
  

  Si intuisce che il termine a_n è uguale al prodotto del primo termine, a₁, per la potenza della ragione con esponente (n - 1):
  

  a_n = a₁ ⋅ q^{(n - 1)}
  

  (Se l'indice n parte da 0 cioè se il primo termine della progressione è a₀ allora la relazione diventa a_n=a₀ ⋅ qⁿ).
  

  Ora, da questa relazione segue che:
  

  
  

  Esempio 1: Qual è il settimo termine, a₇, di una progressione geometrica di ragione q=2 in cui il primo termine è a₁=4?
  
  Si conoscono: a₁ = 4, q = 2, n = 7, possiamo quindi determinare a₇
  

  a₇ = a₁ ⋅ q^7-1 = 4 ⋅ 2⁶ = 256
  

  La progressione geometrica è quindi:
  

  4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
  

  Esempio 2: Qual è la ragione della progressione geometrica di primo termine 5 e sesto termine 1215?
  
  Si conoscono: a₁ = 5, a₆ = 1215, n = 6, possiamo quindi determinare q
  

  
  

  La progressione geometrica è quindi:
  

  5, 15, 45, 135, 405, 1215, ...

• Relazione tra due qualsiasi termini.
  
  Consideriamo la progressione geometrica di ragione q = 6 e di primo termine 3:
  

  3, 3⋅6, 3⋅6², 3⋅6³, 3⋅6⁴, ..., 3⋅6^n-1, ...
  

  Esiste una possibile relazione tra due qualunque termini? Ad esempio esiste una relazione tra a₅ e a₂?
  
  Consideriamo i due termini:
  

  a₅ = 3⋅6⁴;   a₂ = 3⋅6
  

  Possiamo scrivere:
  

  a₅ = 3⋅6 ⋅ 6³ = a₂ ⋅ 6^5-2
  

  Cioè a₅ è uguale al prodotto di a₂ per la ragione q avente per esponente la differenza tra i due indici dei termini considerati.
  
  In generale, se a_t e a_s sono due termini di una progressione geometrica vale:
  

  a_t = a_s ⋅ q^{(t - s)}
  

• Inserimento di medi geometrici fra due numeri dati.
  
  Consideriamo due numeri reali positivi, ad esempio 2 e 1250 e scriviamo la progressione geometrica in modo che il primo termine sia 2 e il quinto termine sia 1250. In altre parole vogliamo determinare i tre termini a₂, a₃, a₄ della progressione geometrica:
  

  2, a₂, a₃, a₄, 1250, ...
  

  Conoscendo a₁=2 e a₅=1250 possimo determinare la ragione q
  

  
  

  Ora, possiamo determinare i tre termini della progressione:
  

  a₂ = 2 ⋅ 5 = 10;   a₃ = 10 ⋅ 5 = 50;   a₄ = 50 ⋅ 5 = 250
  

  La progressione geometrica è quindi:
  

  2, 10, 50, 250, 1250, ...
  

  In questa progressione geometrica possiamo verificare che:
  
  10 è la media geometrica tra 2 e 50:
  

  
  

  50 è la media geometrica tra 10 e 250:
  

  
  

  250 è la media geometrica tra 50 e 1250:
  

  
  

  In generale, ogni termine di una progressione geometrica è la media geometrica tra il precedente e il successivo.
  
  Esempio: Quale numero bisogna inserire tra 6 e 54 in modo che si formi una progressione geometrica?
  
  Il numero da inserire è uguale alla media geometrica tra 6 e 54, cioè:
  

  
  

• Prodotto di due termini equidistanti dagli estremi.
  
  Consideriamo i primi otto termini di una progressione geometrica di estremi 2 e 4374 e di ragione 3:
  

  2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374
  

  I termini 6 e 1458 sono equidistanti dai due estremi e sono equidistanti dagli estremi anche le coppie 18 e 486, 54 e 162. Ora, se moltiplichiamo i due termini di ciascuna coppia equidistante dagli estremi:
  

  6 ⋅ 1458 = 8748;   18 ⋅ 486 = 8748;   54 ⋅ 162 = 8748
  

  otteniamo lo stesso prodotto che è uguale al prodotto dei due termini estremi: 2 ⋅ 4374 = 8748.
  
  In generale, se consideriamo un numero finito di termini consecutivi di una progressione geometrica, il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed uguale al prodotto dei termini estremi.
  

• Prodotto di termini consecutivi di una progressione geometrica.
  
  Consideriamo la progressione geometrica:
  

  a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n-1, a_n, ...
  

  e determiniamo il prodotto P_n dei primi n termini:
  

  P_n = a₁⋅a₂⋅a₃⋅a₄⋅ ...⋅a_n-1⋅a_n
  

  Applicando la proprietà commutativa possiamo scrivere:
  

  P_n = a_n⋅a_n-1⋅a_n-2⋅a_n-3⋅ ...⋅a₂⋅a₁
  

  Moltiplicando le due uguaglianze e applicando la proprietà associativa si ottiene:
  

  P_n² = (a₁⋅a_n)⋅(a₂⋅a_n-1)⋅ ...⋅(a_n⋅a₁)
  

  Ora, come sappiamo tutti i prodotti all'interno delle parentesi tonde sono uguali tra loro e uguali a: a₁⋅a_n. Possiamo quindi scrivere:
  

  P_n² = (a₁⋅a_n)ⁿ
  

  Cioè:
  

  
  

  Ad esempio determiniamo il prodotto dei primi quattro termini della progressione geometrica:
  

  4, 12, 36, 108, ...
  

  Conoscendo a₁=4, a₄=108 e n=4 possiamo determinare P₄: