Somma dei primi n termini di una progressione
Consideriamo i primi n termini di una progressione aritmetica:
a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an
e indichiamo con Sn la loro somma:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an
Sappiamo che, se consideriamo un numero finito di termini consecutivi di una progressione aritmetica, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed uguale alla somma dei due termini estremi, cioè:
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 + …
Pertanto la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale a n/2 addendi tutti uguali a a1 + an. Cioè:
Esempio 1: Calcoliamo la somma dei primi n numeri naturali.
Essendo a1 = 1 e an = n si ha:
Supponendo n = 100, la somma dei primi 100 numeri naturali è:
Esempio 2: Calcoliamo la somma dei primi n numeri dispari.
Essendo a1 = 1 e an = 1 + 2(n-1) si ha:
Supponendo n = 100, la somma dei primi 100 numeri dispari è:
Esempio 3: Calcoliamo la somma dei primi n numeri pari.
Essendo a1 = 0 e an = 0 + 2(n-1) = 2(n - 1) si ha:
Supponendo n = 100, la somma dei primi 100 numeri pari è:
Esempio 4: Calcoliamo la somma dei primi quaranta numeri della progressione:
7, 10, 13, 16, 19, …
Calcoliamo la ragione d = 10 - 7 = 3.
Calcoliamo il quarantesimo termine della progressione:
a40 = a1 + d(40 - 1) = 7 + 3⋅39 = 124
Calcoliamo la somma:
