Cosa devi sapere sulle successioni numeriche

Le successioni numeriche

Un insieme di numeri che si susseguono in un determinato ordine è detto successione numerica. Ad esempio, l'insieme ordinato e infinito:

costituisce la successione dei numeri naturali dispari. Generalmente, i termini di una succesione vengono indicati con la lettera a seguita da un indice numerico:

In particolare a_n è chiamato termine generale della successione ed è il termine di indice n ed è il termine precedente di a_n+1 ed è anche il termine successivo di a_n-1. Possiamo anche pensare che una successione numerica sia una funzione, che fa corrispondere a ogni numero naturale n un numero reale a_n. Il numero naturale n è la variabile indipendente, mentre il corrispondente numero reale a_n è la variabile dipendente. Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri naturali, mentre coodominio è l'insieme dei numeri reali.

Ad esempio, la successione costituita da tutti i multipli di 4 è una funzione che associa a ogni numero naturale il suo quadruplo:

0 → a₀ = 0,   1 → a₁ = 4,   2 → a₂ = 8,   3 → a₃ = 12,   ...

Ci sono tre modi per descrivere una successione ed evitare di scrivere infiniti numeri:

• Rappresentazione per enumerazione:
  
  Vengono indicati i primi cinque termini della successione seguiti dai puntini di sospensione. Questa rappresentazione viene utilizzata soltanto se dai primi cinque termini è possibile dedurre gli altri termini senza alcuna ambiguità. Ad esempio:

  0,   1,   4,   9,   16,   ...
  

  rappresenta la successione dei numeri quadrati e si intuisce che il termine successivo al 16 è 25 e il termine generale è a_n=n². Pertanto, per ogni termine della successione è possibile indicare quello che viene dopo. Questa successione si può anche scrivere così:

  0²,   1²,   2²,   3²,   4²,   ...
  

• Rappresentazione mediante funzione:
  
  Viene indicata in modo esplicito la legge che a ogni numero n fa corrispondere il numero a_n. Ad esempio:

  a_n = 3n    n ∈ N
  

  rappresenta la successione dei numeri naturali multipli di 3. Infatti, sostituendo a n i valori 0, 1, 2, 3, 4, ... si ottengono i termini della successione 0, 3, 6, 9, 12, ...

• Rappresentazione ricorsiva:
  
  Viene indicato il primo termine della successione a₀ e la relazione che lega ogni termine al termine precedente. Ad esempio:

  
  

  ogni termine si ottiene dal precedente sommando 5.

  a₁ = a₀ + 5 = 5,    a₂ = a₁ + 5 = 10,    a₃ = a₂ + 5 = 15, ...
  

  che rappresenta la successione dei numeri naturali multipli di 5.