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Rettangolo aureo
Un'altra interessante figura geometrica è il rettangolo aureo che ha un lato che è sezione aurea dell'altro. Il rettangolo aureo ha una particolare proprità: se da un rettangolo aureo ABCD togliamo il quadrato AEFD, il rettangolo EBCF che rimane è ancora aureo con dimensioni ridotte. Il rettangolo aureo è l'unico rettangolo che può essere suddiviso in un quadrato e un rettangolo che a sua volta è simile al rettangolo iniziale e quindi è aureo.
Se si toglie al rettangolo rimanente un quadrato di lato uguale al lato minore si ottiene di nuovo un rettangolo aureo e le dimensioni del rettangolo più piccolo sono minori di quelle del rettangolo più grande di un fattore φ.
Proseguendo con lo stesso procedimento si ottengono una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli e anche una successione di quadrati sempre più piccoli. Ora, tracciando un quarto di circonferenza in ogni quadrato si ottiene una spirale logaritmica aurea approssimata. Tracciando poi la diagonale comune ai rettangoli aurei orizzontali e verticali si ottiene il polo della spirale, chiamato dal matematico C. A. Pickover "occhio di Dio", perchè è il punto di attrazione dove convergono tutti gli innumerevoli rettangoli aurei sempre più piccoli.
Nella vita quotidiana molti oggetti hanno la forma rettangolare e non tutti sono aurei tuttavia è curioso notare che molti di questi lo sono perchè da sempre il rettangolo aureo è stato considerato, inconsciamente, una forma particolarmente gradevole alla vista.
Intersecando ortogonalmente tre rettangoli aurei uguali e unendo i dodici vertici dei tre rettangoli con dei segmenti si ottengono i trenta spigoli e i venti triangoli equilateri congruenti di un icosaedro regolare.
L'icosaedro e il dodecaedro hanno lo stesso numero di spigoli, inoltre il numero delle facce del dodecaedro è uguale al numero dei vertici dell'icosaedro e il numero dei vertici del dodecaedro è uguale al numero delle facce dell'icosaedro e questo vuol dire che il dodecaedro e l'icosaedro sono duali l'uno dell'altro. Possiamo allora inserire ciascun solido all'interno del suo duale; congiungendo i centri di tutte le facce di un dodecaedro si ottiene un icosaedro e viceversa congiungendo i centri di tutte le facce di un icosaedro si ottiene un dodecaedro.
E quindi i tre rettangoli aurei intersecati ortogonalmente hanno i docici vertici nei centri delle facce di un dodecaedro.
Da quanto detto si intuisce che c'è un forte legame tra il rapporto aureo e questi due poliedri regolari infatti, il dodecaedro regolare con lo spigolo unitario ha la superficie e il volume rispettivamente:
mentre l'icosadro regolare con lo spigolo unitario ha il volume pari a:
