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Triangolo aureo
Un lato del pentagono regolare e due diagonali uscenti dalla stesso vertice del pentagono formano un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 36° e gli angoli alla base di 72°.
Questo triangolo è detto aureo perchè la base è la sezione aurea degli altri due lati. Se tracciamo la bisettrice di uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo isoscele con un angolo al vertice di 108° e un altro triangolo aureo simile a quello iniziale. Ad esempio, se tracciamo la bisettrice BD il triangolo BCD è aureo e il punto D divide il segmento AC secondo il rapporto aureo.
Ripetendo più volte questa operazione si ottengono una serie di triangoli aurei sempre più piccoli. Puntando il compasso nei vertici dei triangoli isosceli con l'angolo di 108° e tracciando una successione di archi di circonferenza ampi 108° si ottiene una particolare spirale logaritmica detta spirale aurea.
La spirale logaritmica possiede numerose proprietà e ha ricevuto anche numerosi appellativi. Il matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654-1705) la chiamò spirale meravigliosa e chiese che venisse scolpita sulla sua tomba. La spirale logaritmica ha una particolare caratteristica; è una curva che cresce continuamente senza cambiare forma, cioè se ci allontaniamo sempre di più dal suo punto di origine le dimensioni della spirale aumentano ma la curva conserva la sua forma. Questa prorietà, che abbiamo già riscontrato con il rapporto aureo, è nota con il nome autosomiglianza. Questo vuol dire che se noi prendiamo una spirale logaritmica e operiamo su di essa con una trasformazione di similitudine otteniamo ancora una spirale logaritmica congruente a quella iniziale.
Anche nel mondo vegetale e animale i fenomeni di accrescimento avvengono conservando sempre la medesima forma. Se osserviamo due conchiglie della stessa specie ma di età diversa possiamo vedere che le due forme sono l'una l'ingrandimento dell'altra.
La conchiglia, come il mollusco in essa contenuto, cresce in grandezza ma non cambia di forma. Questa proprietà permette al mollusco di incrementare le proprie dimensioni mantenendo costante il rapporto tra il proprio corpo e le dimensioni della conchiglia. Pertanto la forma geometrica della spirale logaritmica rappresenta, per il mollusco l'habitat ideale per crescere accrescendo contemporaneamente la conchiglia. La spirale logaritmica è una delle forme geometriche più diffusa in natura.
Se consideriamo un decagono regolare inscritto in una circonferenza e lo dividiamo in dieci triangoli isosceli che hanno per lato il raggio della circonferenza e per base ciascuno dei lati del poligono, tutti questi triangoli hanno l'angolo al vertice ampio 36° e gli angoli alla base di 72°.
Questi triangoli sono quindi triangoli aurei e da ciò segue che il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta.
