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Il pentagono regolare e il numero aureo
Il numero aureo è presente in molte figure geometriche e in modo particolare nei pentagoni regolari e nella stella a cinque punte, chiamata pentagramma, che si ottiene tracciando tutte le diagonali del pentagono.
In ogni pentagono regolare le diagonali si tagliano in estrema e media ragione e il rapporto tra una diagonale e un lato del pentagono è uguale al numero aureo ma non sono gli unici rapporti aurei presenti nel pentagono regolare. Ecco, ad esempio, alcuni rapporti aurei:
Le diagonali del pentagono regolare intersecandosi formano all'interno della stella a cinque punte un altro pentagono regolare ruotato di 180°. Tracciando le diagonale del nuovo pentagono si forma un'altra stella a cinque punte e dentro questa nuova stella c'è un nuovo pentagono regolare. Naturalmente questo procedimento può essere ripetuto ancora e poi ancora all'infinito ottenendo sempre nuove stelle a cinque punte e nuovi pentagoni regolari con i lati sempre più corti.
E' stato dimostrato che ogni segmento colorato in verde nella seguente figura
è minore del precedente di un fattore esattamente uguale a φ. Pertanto:
Poter annidare pentagoni e stelle a cinque punti all'infinito viene considerato una dimostrazione rigorosa della incommensurabilità fra la diagonale e il lato di un pentagono regolare. Il pentagramma fu scelto dai pitagorici come simbolo della loro comunità e alcuni studiosi ritengono che fu Ippaso di Metaponto, un allievo di Pitagora, a scoprire il rapporto aureo e l'incommensurabilità tra la diagonale e il lato del pentagono.
Nella geometria greca tutte le figure geometriche, in particolare i poligoni regolari, dovevano essere costruite con riga e compasso. Con questa limitazione è semplice costruire il triangolo equilatero e quindi l'esagono oppure costruire il quadrato e quindi l'ottagono regolare. Invece, non è altrettanto semplice costruire il pentagono regolare. I greci con Euclide riuscirono a costruire un pentagono regolare di dato lato inscritto in un cerchio sfruttando il rapporto aureo tra la diagonale e un lato del pentagono. E fu questo il motivo per cui Euclide si interessò alla costruzione del rapporto aureo. Vediamo la costruzione del pentagono regolare. Sia AB il lato del pentagono da costruire, tracciamo da B il segmento BC = AB perpendicolare ad AB. Con centro nel punto medio D di AB riportiamo C in E sul prolungamento di AB, dalla parte di B. Con centro in A riportiamo E sull'asse AB in F. Tracciamo i segmenti AF e BF.
Tracciamo l'asse del segmento AF e sia H l'intersezione dei due assi. Con centro in H tracciamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABF. Tracciamo le bisettrice degli angoli FAB e FBA e siano J e L i punti di intersezione delle bisettrice con la circonferenza. Tracciamo i segmenti AJ, JF, FL, LB.
