Cosa devi sapere sulle applicazioni delle derivate

Massimi e minimi assoluti

Per la determinazione del minimo e del massimo assoluto di una funzione continua in un intervallo I consideriamo due possibili casi:

• L'intervallo I è chiuso e limitato.
  
  In virtù del teorema di Weierstrass possiamo affermare con sicurezza che la funzione ammette sia il minimo sia il massimo assoluto. Questi due valori vanno ricercati tra:

  1. gli estremi dell'intervallo I

  2. i punti interni dell'intervallo I in cui f'(x)=0

  3. i punti di I in cui la funzione f(x) non è derivabile.

  Vediamo alcuni esempi:

  • Esempio 1: Determinare il minimo e il massimo della funzione

    f(x) = 3xe^-x

    nell'intervallo [0, 3].
    
    La funzione è ovunque derivabile in (0, 3) e la derivata prima è:

    f'(x) = (3 - 3x)e^-x

    e f'(x) = 0 per x = 1. I punti di massimo e minimo assoluti devono allora essere cercati nell'insieme {0, 1, 3}.

    f(0) = 0; f(1) = 3e^-1; f(3) = 9e^-3

    Pertanto x=0 è il punto di minimo ed il minimo assoluto è y=0 mentre x=1 è il punto di massimo ed il massimo assoluto è y=3e^-1

    

  • Esempio 2: Determinare il minimo e il massimo della funzione

    f(x) = |x² - 4x|

    nell'intervallo [1, 5].
    
    La funzione è continua in tutto l'intervallo [1, 5], inoltre si ha:

    

    Calcoliamo la derivata prima f'(x)

    

    e

    

    la funzione è derivabile in [1, 5] escluso il punto x=4 in cui ha un punto angoloso.

    Inoltre, f'(x) = 0 per x = 2. I punti di massimo e minimo assoluti devono allora essere cercati nell'insieme {1, 2, 4, 5}.

    f(1) = 3; f(2) = 4; f(4) = 0; f(5) = 5

    Pertanto x=4 è il punto di minimo ed il minimo assoluto è y=0 mentre x=5 è il punto di massimo ed il massimo assoluto è y=5

    

• L'intervallo I non è chiuso o non è limitato.
  
  Essendo l'intervallo non chiuso e limitato non vale il teorema di Weierstrass e quindi non si può stabilire a priori l'esistenza di un massimo e di un minimo assoluto della funzione in I. Per stabilirlo bisogna cercare questi valori tra:

  1. i punti interni dell'intervallo I in cui f'(x)=0

  2. i punti di I in cui la funzione f(x) non è derivabile

  3. i limiti della funzione agli estremi dell'intervallo I.

Vediamo un esempio:

• Esempio 3: Determinare il minimo e il massimo della funzione

  

  nell'intervallo [-4, -1[.
  
  La funzione è continua in tutto l'intervallo considerato e la derivata prima è:

  

  Inoltre, f'(x) = 0 per x = -2 e x = 0 quest'ultimo valore è da escludere perchè non è compreso nell'intervallo preso in considerazione. I punti di massimo e minimo assoluti devono allora essere cercati nel punto stazionario f(-2) e nei limiti agli estremi dell'intervallo [-4, -1[.

  f(-2) = -4

  

  Pertanto x=-2 è il punto di massimo ed il massimo assoluto è y=-4 mentre l'estremo inferiore è -∞.