Ricerca dei punti stazionari con le derivate successive
Per alcune funzioni la determinazione dei possibili punti stazionari risulta più semplice applicando il teorema delle derivate successive:
Se una funzione f(x) è derivabile n volte in un intorno I di x0 e se
f'(x0)=0, f"(x0)=0, ..., fn-1(x0)=0, fn(x0)≠0
si ha:
se n è pari e fn(x0)>0 allora il punto x0 è un punto di minimo relativo.
se n è pari e fn(x0)<0 allora il punto x0 è un punto di massimo relativo.
se n è dispari e fn(x0)>0 allora il punto x0 è un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente
se n è dispari e fn(x0)<0 allora il punto x0 è un punto di flesso a tangente orizzontale discendente.
In pratica per la ricerca degli estremi relativi della funzione f(x) occorre procedere in questo modo:
determinare la derivata prima della funzione f(x)
determinare gli zeri dell'equazione f'(x)=0; questi rappresentano le ascisse dei punti stazionari.
per poter stabilire se questi punti stazionari sono dei punti di minimo o di massimo o flessi orizzontali si deve, per ogni ascissa dei punti stazionari, determinare le derivate successive di f'(x) finchè risulti fn(x0)≠0.
Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: Determinare gli eventuali punti estremali della funzione
f(x) = x4 - 2x3
Determiniamo la derivata prima:
f'(x) = 4x3 - 6x2
Calcoliamo gli zeri dell'equazione f'(x)=0
f'(x) = 4x3 - 6x2=0 → x = 0 ∨ x = 3/2
Calcoliamo f"(0)
f"(x) = 12x2 - 12x → f"(0) = 12 ⋅ 02 - 12 ⋅ 0 = 0
Calcoliamo f"(3/2)
f"(x) = 12x2 - 12x → f"(3/2) = 12 ⋅ (3/2)2 - 12 ⋅ 3/2 = 9
In x=3/2 la funzione ha un minimo relativo (n è pari e f"(3/2)>0)
Calcoliamo f3(0)
f3(x) = 24x - 12 → f3(0) = 24 ⋅ 0 - 12 = -12
In x=0 la funzione ha un flesso orizzontale discendente (n è dispari e f3(0)<0)
Esempio 2: Determinare gli eventuali punti estremali della funzione
f(x) = x6 - 3x4
Determiniamo la derivata prima:
f'(x) = 6x5 - 12x3
Calcoliamo gli zeri dell'equazione f'(x)=0
f'(x) = 6x5 - 12x3=0 → x = 0 ∨ x = -√2 ∨ x = √2
Calcoliamo f"(0)
f"(x) = 30x4 - 36x2 → f"(0) = 30 ⋅ 04 - 36 ⋅ 02 = 0
Calcoliamo f"(-√2)
f"(-√2) = 30(-√2)4 - 36(-√2)2 = 48
Calcoliamo f"(√2)
f"(√2) = 30(√2)4 - 36(√2)2 = 48
In x=-√2 e in x=√2 la funzione ha un minimo relativo perchè n è pari e f"(-√2)>0 e f"(√2)>0
Calcoliamo f3(0)
f3(x) = 120x3 - 72x → f3(0) = 0
Calcoliamo f4(0)
f4(x) = 360x2 - 72 → f4(0) = -72
In x=0 la funzione ha un massimo relativo (n è pari e f4(0)<0)
