Problemi sui triangoli con equazioni e disequazioni
Le relazioni introdotte con la trigonometria ci consentono di poter risolvere problemi geometrici in cui l'incognita rappresenta la misura di un angolo. Vediamo con alcuni esempi come è possibile risolvere tali problemi mediante la risoluzione di un'equazione o una disequazione in cui l'incognita è un angolo.
- Esempio 1
In una semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r, determina un punto P sull'arco AB, in modo che sia verificata la seguente relazione:
3PA2 + 2PB2 = 9AO2
Disegniamo la figura e scegliamo l'incognita.
Dalla figura si osserva che la posizione del punto P dipende esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo PAB pertanto conviene indicare con x tale angolo. Inoltre, essendo il triangolo APB rettangolo in P (triangolo inscritto in una semicirconferenza) l'angolo x può variare solo nell'intervallo
0° ≤ x ≤ 90°
Analizziamo i casi limite:
quando x = 0°, P coincide con B e il triangolo APB degenera nel segmento AB e AP = AB.
quando x = 90°, P coincide con A e il triangolo APB degenera nel segmento AB e AB = BP.
In entrambi i casi limite la soluzione è diversa da quella nel problema e quindi possiamo escludere i casi limiti e assumere come dominio per x l'intervallo:
0° < x < 90°
Considerando il triangolo rettangolo APB possiamo scrivere:
PA = 2rcosx; PB = 2rsinx
E sostituendo nella relazione da verificare si ottiene:
3(2rcosx)2 + 2(2rsinx)2 = 9r2
Sviluppando si ottiene:
12r2cos2x + 8r2sin2x = 9r2
12cos2x + 8(1 - cos2x) = 9
4cos2x = 1 → cosx = 1/2 ∨ cosx = -1/2
Cioè:
x = 60° ∨ x = 120°
Tenendo conto del dominio della x l'unica soluzione è x = 60°
- Esempio 2
In una semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r, determina un punto P sull'arco AB, in modo che l'area del triangolo APB sia uguale a:
Disegniamo la figura e scegliamo l'incognita.
La posizione del punto P dipende dall'ampiezza dell'angolo PAB pertanto conviene indicare con x tale angolo. Inoltre, essendo il triangolo APB rettangolo in P (triangolo inscritto in una semicirconferenza) l'angolo x può variare solo nell'intervallo:
0° ≤ x ≤ 90°
Analizziamo i casi limite:
quando x = 0°, P coincide con B e il triangolo APB degenera nel segmento AB e AP = AB.
quando x = 90°, P coincide con A e il triangolo APB degenera nel segmento AB e AB = BP.
In entrambi i casi limite la soluzione è diversa da quella nel problema e quindi possiamo escludere i casi limiti e assumere come dominio per x l'intervallo:
0° < x < 90°
Considerando il triangolo rettangolo APB possiamo scrivere:
PA = 2rcosx; PB = 2rsinx
Per cui l'area del triangolo APB è data da:
Imponendo che l'area del triangolo sia quella indicata dal problema si ha:
Cioè:
Sostituendo l'argomento 2x con la variabile ausiliare t otteniamo l'equazione goniometrica elementare:
Che ha per soluzione:
E sostituendo 2x al posto di t si ha:
Esistono quindi due punti P1 e P2 che soddisfano le condizioni del problema.
- Esempio 3
Sia ABCD un quadrilatero inscritto in uma semicirconferenza di diametro AB=2r e avente il lato CD=r.
a) Determinare l'ampiezza dell'angolo BAC in modo che sia AC+BD= 2√3 r. Calcolare l'area del quadrilatero ABCD in corrispondenza del valore trovato.
b) Posto f(x)=AC+BD con r=1, verificare che la funzione f(x) assume valore massimo in corrispondenza al valore dell'angolo precedentemente trovato.
Disegniamo la figura indicando con x l'angolo BAC.
Osserviamo che la corda CD avendo misura r è il lato dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza di diametro AB ne segue che l'angolo al centro sotteso dall'arco CD è di 60° e quindi gli angoli alla circonferenza sottesi dall'arco CD misurano 30° pertanto si ha:
CAD = DBC = 30°
L'ampiezza dell'angolo BAC indicato con x dipende dalla posizione della corda CD. Analizziamo i casi limite:
Quando il vertice C coincide con il vertice B il quadrilatero ABCD degenera nel triangolo rettangolo ACD, l'angolo x misura 0° e AC+BD=3r
Quando il vertice D coincide con il vertice A il quadrilatero ABCD degenera nel triangolo rettangolo ABC, l'angolo x misura 60° e AC+BD=3r
Poichè in entrambi i casi limite la somma AC+BD è diversa da quella richiesta dal problema possiamo escludere i casi limite e assumere come dominio per x l'intervallo 0° < x < 60°.
Considerando il triangolo ABC si ha:
AC = ABcosx = 2rcosx
Considerando il triangolo ABD si ha:
BD = ABsin(x+30°) = 2rsin(x+30°)
Cioè:
Imponendo la condizione del problema si ottiene:
Semplificando si ottiene l'equazione lineare:
Con il metodo dell'angolo aggiunto l'equazione può essere riscritta nella forma:
Che ha per soluzione:
Il problema ammette per soluzione x=30° e il quadrilatero ABCD risulta un trapezio isoscele con gli angoli alla base maggiore di 60° (può essere considerato anche come la metà dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza di diametro AB).
Come si vede dal grafico la funzione f(x) è ottenuta con una traslazione di vettore v(-Π/3, -1) sul grafico di sinx e assume il valore massimo quando l'angolo è di 30°.
