Cosa devi sapere sulla trigonometria

Teorema del coseno

Consideriamo un triangolo acutangolo ABC e tracciamo l'altezza CH e siano a, b, c, h le rispettive misure dei lati e dell'altezza.

L'altezza CH divide il triangolo acutanngolo ABC in due triangoli rettangoli AHC e CHB. Consideriamo i due triangoli rettangoli e le relazioni tra i lati e gli angoli

AH = b ⋅ cos α   CH = b ⋅ sin α   HB = c - b ⋅ cos α

Inoltre, applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo CHB

BC² = CH² + HB²

Cioè

a² = (b ⋅ sin α)² + (c - b ⋅ cos α)²

e sviluppando si ottiene:

a² = b² ⋅ sin² α) + c² + b² ⋅ cos² α - 2bc⋅cosα

a² = b²(sin² α + cos² α) + c² - 2bc⋅cosα

a² = b² + c² - 2bc⋅cosα

Se il triangolo è ottusangolo

tenendo presente che

cos (Π - α) = - cos α

con la stessa procedura si arriva alla stessa relazione: a² = b² + c² - 2bc⋅cosα

Pertanto (teorema del coseno):

In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo tra essi compresi.

a² = b² + c² - 2bc⋅cosα

b² = a² + c² - 2ac⋅cosβ

c² = a² + b² - 2ab⋅cosγ

Se il triangolo è rettangolo e α = 90° la relazione a² = b² + c² - 2bc⋅cosα diventa a² = b² + c² essendo cos 90° = 0 per tale motivo il teorema del coseno è anche detto teorema di Pitagora generalizzato.