Risoluzione di un triangolo rettangolo
Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare le misure di tutti i suoi elementi (tre lati e tre angoli) conoscendo solo alcuni di questi elementi di cui almeno uno sia un lato. Per ottenere ciò occorre conoscere le relazioni che intercorrono tra le misure dei lati e degli angoli di un triangolo rettangolo. Consideriamo un triangolo rettangolo in cui a e b sono le misure dei cateti e c è la misura dell'ipotenusa; siano inoltre α e β gli angoli acuti (α opposto al cateto a, β opposto al cateto b).
Tracciamo la circonferenza goniometrica di centro O coincidente con un vertice del triangolo. Sia P il punto in cui l'ipotenusa interseca la circonferenza e P' la proiezione di P sull'asse delle x.
I due triangoli rettangoli OAB e OP'P sono evidentemente simili (gli angoli corrispondenti sono uguali). Possiamo quindi scrivere:
OP' : OA = OP : OB
Cioè
cos α : b = 1 : c
e risolvendo rispetto a b si ottiene:
b = c ⋅ cos α
D'altra parte, poichè α e β sono complementari si ha:
cos α = sin β
e sostituendo nella relazione precedente si ha:
b = c ⋅ sin β
Pertanto:
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale alla misura dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo acuto ad esso adiacente oppure per il seno dell'angolo ad esso opposto.
Cioè:
E dividendo membro a membro si ottiene:
Cioè:
Pertanto:
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale alla misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto oppure per la cotangente dell'angolo adiacente al primo cateto.
Con queste relazioni e quelle inverse insieme al teorema di Pitagora siamo in grado di risolvere un triangolo rettangolo conoscendo due suoi elementi (oltre all'angolo retto) di cui almeno uno sia un lato. Vediamo con alcuni esempi:
Esempio 1: Determinare tutti gli elementi di un triangolo rettangolo conoscendo le misure dei due cateti a=5, b=12.
Calcoliamo l'ipotenusa c applicando il teorema di Pitagora:
Dalla relazione:
a = c ⋅ sin α
possiamo ricavare sin α
e quindi l'angolo α
Dalla relazione
b = c ⋅ sin β
Possiamo determinare l'angolo β:
Esempio 2: Determinare tutti gli elementi di un triangolo rettangolo conoscendo le misure dell'ipotenusa c=30 e dell'angolo β=40°.
Determiniamo il cateto a
a = c ⋅ cos β = 30 ⋅ cos 40° = 30 ⋅ 0,7660 = 22,98
Determiniamo il cateto b
b = c ⋅ sin β = 30 ⋅ sin 40° = 30 ⋅ 0,6428 = 19,28
Determiniamo l'angolo α
α = 90° - β = 90° - 40° = 50°
Esempio 3: Determinare tutti gli elementi di un triangolo rettangolo conoscendo le misure del cateto a=20 e dell'angolo α=36°.
Determiniamo l'ipotenusa c
Determiniamo il cateto b
b = c ⋅ cos α = 34 ⋅ cos 36° = 34 ⋅ 0,8090 = 27,5
Determiniamo l'angolo β
β = 90° - α = 90° - 36° = 54°
Mediante le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo possiamo determinare l'area di un triangolo qualsiasi conoscendo le misure di due lati e l'ampiezza dell'angolo fra di essi compreso. Consideriamo i due casi possibili:
1)l'angolo α compreso tra i lati a e b è acuto
2)l'angolo α compreso tra i lati a e b è ottuso
Per entrambi i triangoli l'area è uguale al semiprodotto tra la base c e l'altezza h, inoltre essendo sin α = sin (Π - α) e i triangoli AHC rettangoli possiamo determinare h in funzione di b utilizzando le relazioni sul triangolo rettangolo:
h = b ⋅ sin α
Per cui l'area di entrambi i triangoli è data dalla formula:
