Similitudine e omotetia nello spazio
La nozione di similitudine per i poliedri è analoga alla nozione di similitudine per i poligoni;
Due poliedri sono simili, cioè hanno la stessa forma, se angoloidi corrispondenti sono congruenti e le misure di spigoli corrispondenti sono in proporzione.
La congruenza di angoloidi corrispondenti implica la congruenza di angoli e diedri corrispondenti; inoltre facce corrispondenti sono necessariamente poligoni simili. Sono simili, ad esempio, due cubi o due tetraedri regolari. Indichiamo con P e P' due poliedri simili; siano A e B due punti qualsiasi di P e siano A' e B' i punti corrispondenti di P'; quindi AB e A'B' sono due segmenti corrispondenti qualsiasi e non necessariamente due spigoli corrispondenti. Si può dimostrare che il rapporto
è costante al variare dei punti A e B. Viceversa si può dimostrare che se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di P e di P' tale che, indicando con A e A' e con B e B' punti corrispondenti, il rapporto
sia costante allora i due poliedri sono simili. Quest'ultima proprietà può assumersi come nuova definizione di similitudine tra poliedri (equivalente alla precedente). La nuova definizione ha il vantaggio di potersi estendere immediatamente anche a solidi non poliedrici, non facendo riferimento nè a spigoli nè ad angoloidi. Ecco dunque la definizione più generale di figure simili, applicabile sia ai solidi sia alle figure piane:
(Definizione generale di similitudine) Due solidi F ed F' (o due figure piane) sono simili, cioè hanno la stessa forma, se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di F e di F' tale che, indicando con A e B due punti qualsiasi di F e con A' e B' i punti corrispondenti di F', il rapporto
sia costante (cioè non vari al variare di A e B). Tale rapporto costante prende il nome di rapporto di similitudine.
Si può dimostrare che due solidi di rotazione sono simili se e solo se sono simili le figure piane ottenute come sezioni dei due solidi con piani contenenti gli assi.
Ad esempio:
sono simili tutti i cilindri equilateri (perchè le sezioni che ci interessano sono tutte quadrati);
sono simili tutti i coni equilateri (perchè le sezioni sono triangoli equilateri);
sono simili due coni che abbiano la stesso angolo di semiapertura;
tagliando un cono con un piano parallelo alla base si stacca un nuovo cono che è simile al cono da cui deriva;
sono simili tutte le sfere.
Anche la definizione di trasformazione omotetica può estendersi immediatamente allo spazio:
Dato un punto O dello spazio e un numero reale k ≠ 0 si chiama omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione che ad ogni punto P del solido fa corrispondere il punto P', in modo tale che
Il numero reale k è detto rapporto di omotetia, se k > 0 l'omotetia si dice diretta, invece se k < 0 si dice inversa, se k = 1 l'omotetia coincide con la trasformazione identica, se k = -1 l'omotetia coincide con la simmetria centrale. Ad esempio, in figura è stata applicata un'omotetia di centro O e rapporto k=2 alla struttura ABCD:
E' facile dimostrare che, in un'omotetia, il rapporto tra due segmenti corrispondenti A'B' e AB è costante ed proprio uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia. Ne segue che figure corrispondenti in un'omotetia sono simili. Un'omotetia, oltre a conservare la forma, conserva anche la direzione, cioè ogni retta viene trasformata in una retta parallela. Quindi figure omotetiche non solo sono simili ma sono anche disposte nello stesso modo (il termine "omotetia", derivato dal greco, significa proprio questo: "stessa disposizione").
