Isometrie dirette o inverse
Una simmetria rispetto ad un piano viene anche chiamata riflessione perchè l'immagine simmetrica può ottenersi per riflessione in uno specchio (che ha il ruolo del piano α).
Nel piano la simmetria rispetto a una retta ha un ruolo particolare perchè ogni isometria del piano è il prodotto, al più, di tre simmetrie rispetto ad una retta. Nello spazio è la simmetria rispetto ad un piano che ha questo ruolo perchè ogni isometria dello spazio è il prodotto, al più, di quattro simmetrie rispetto ad un piano.
Nel piano le isometrie vengono classificate in:
Isometrie dirette.
Sono quelle che conservano l'orientamento di una figura come la traslazione, la rotazione e la simmetria centrale.
In altre parole due figure che si corrispondono con una di queste isometrie possono essere sovrapposte con un movimento rigido senza uscire dal piano e per questo motivo vengono dette direttamente congruenti.
Isometrie inverse.
Sono quelle che invertono l'orientamento di una figura come la simmetria assiale e l'antitraslazione.
In altre parole due figure che si corrispondono con una di queste isometrie possono essere sovrapposte con un movimento rigido solo se si esce dal piano e per questo motivo vengono dette inversamente congruenti.
Pertanto nel piano due figure sono direttamente congruenti o inversamente congruenti secondo che siano il prodotto di un numero pari o dispari di simmetrie assiali.
Cosa succede nello spazio?
La nozione di congruenza nello spazio richiede una più attenta riflessione. Consideriamo due casi concreti.
Primo caso.
Consideriamo i due triangoli rettangoli scaleni:
I triangoli ABC e A'B'C', se pensati come triangoli del piano α, sono congruenti per avere i lati corrispondenti congruenti. Posso sì sovrapporli, ma devo eseguire una simmetria rispetto all'asse r; tale simmetria equivale ad un ribaltamento cioè ad un movimento rigido fisicamente realizzabile nello spazio a tre dimensioni ma non nel piano (non posso ribaltare il triangolo ABC rimanendo nel piano, ho la necessità di uscire dal piano, ho bisogno di una dimensione in più). Nel piano, i due triangoli sono quindi inversamente congruenti. Ora, se i due triangoli sono pensati nello spazio posso sovrapporli con un movimento fisicamente realizzabile e quindi sono direttamente congruenti.
Secondo caso.
Consideriamo i due solidi:
Entrambi sono formati da quattro cubi congruenti e anche gli angoli diedro corrispondenti sono congruenti. Inoltre, sono simmetrici rispetto a un piano
Pertanto i due solidi sono congruenti. Ma sono sovrapponibili? NO. Non esiste nessun movimento rigido fisicamente realizzabile nello spazio a tre dimensioni che porti un solido sull'altro, mentre esiste, astrattamente, un'isometria dello spazio (e precisamente una simmetria rispetto ad un piano) che porta un solido sull'altro. Si può ipotizzare, per analogia dimensionale con ciò che accade nel piano e nello spazio, che i due solidi siano effettivamente sovrapponibili disponendo di una dimensione in più, operando cioè in un spazio a quattro dimensioni. Si tratta naturalmente di una spazio astratto, concepibile solo mentalmente e che non ha alcun riferimento con il mondo reale. Si può dimostrare che tutte le isometrie dirette dello spazio equivalgono a movimenti rigidi fisicamente realizzabili mentre quelle inverse non corrispondono ad un movimento fisicamente realizzabile.
Per sottolineare questo aspetto si dice che due figure solide sono direttamente congruenti se posso portare l'una sull'altra con un'isometria diretta (quindi con un movimento rigido fisicamente realizzabile), sono invece inversamente congruenti se posso portare l'una sull'altra solamente con un'isometria inversa (quindi con un movimento rigido concepibile astrattamente ma non fisicamente realizzabile). Non dimentichiamo però che figure direttamente o inversamente congruenti sono comunque congruenti.
Osserviamo la seguente figura:
ABCD e A'B'C'D' non sono sovrapponibili, mentre ABCD e A"B"C"D" sono sovrapponibili. Si può dimostrare che nello spazio le traslazioni, le rotazioni, e la simmetria rispetto a una retta sono isometrie dirette e due solidi che si corrispondono in una di queste isometrie sono direttamente congruenti. Invece la simmetria rispetto a un piano e la simmetria rispetto a un punto sono isometrie inverse e due solidi che si corrispondono in una di queste isometrie sono inversamente congruenti. Più in generale possiamo dire che:
un'isometria dello spazio si dice diretta se può ottenersi componendo un numero pari di riflessioni, inversa se può ottenersi componendo un numero dispari di riflessioni.
