Cosa devi sapere sulle iperbole

Iperbole traslate

Se trasliamo un'iperbole con un vettore otteniamo ancora un'iperbole, perchè una traslazione lascia invariate le distanze.

La traslazione lascia invarata la distanza focale e la differenza costante delle distanze dei punti dell'iperbole dai fuochi. L'iperbole traslata però non ha più il centro nell'origine degli assi cartesiani e quindi l'equazione di un'iperbole traslata è diversa da quelle con centro nell'origine. Vediamo allora come possiamo determinare l'equazione di un'iperbole traslata. Consideriamo una generica iperbole con centro nell'origine degli assi con i fuochi sull'asse x, e operiamo su di essa una traslazione con un vettore v(k, h). Le equazioni della traslazione sono:

Sostituiamo nell'equazione dell'iperbole alla x e alla y le relazione trovate:

Ora, eliminando gli apici si ottiene l'equazione dell'iperbole traslata:

Con analoghi ragionamenti se consideriamo una generica iperbole con centro nell'origine degli assi con i fuochi sull'asse y, e operiamo una traslazione v(k, h) l'equazione dell'iperbole traslata è:

Nell'iperbole traslata di equazione

Le coordinate del centro sono O'(k, h)

Le coordinate dei fuochi sono F₁(k-c, h); F₂(k+c, h)

Le coordinate dei vertici reali sono A₁(k-a, h); A₂(k+a, h)

Le coordinate dei vertici non reali sono B₁(k, h-b); B₂(k, h+b)

Gli asintoti hanno equazioni

Possiamo scrivere l'equazione di un'iperbole traslata in un altro modo se sviluppiamo le operazioni:

Ponendo A=b², B=-a², C=-2b²k, D=+2a²h, E=b²k²-a²h²-a²b² otteniamo l'equazione dell'iperbole traslata:

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

che è un'equazione di secondo grado in x e y con i coefficienti dei termini di secondo grado di segno opposti.

Le coordinate O'(k, h) del centro dell'iperbole traslata in funzione dei coefficienti dell'equazione di secondo grado dell'iperbole sono:

Vediamo due esempi:

Esempio 1: Data l'iperbole di equazione:

determiniamo l'equazione dell'iperbole corrispondente nella traslazione di vettore v(4, -1) e rappresentiamo le due iperbole.

Osserviamo che l'iperbole data ha i fuochi sull'asse x. Inoltre:

a = 2, b = 3, c = √13.

Le coordinate dei vertici reali sono A₁(-2, 0) e A₂(2, 0), mentre quelli non reali sono B₁(0, -3) e B₂(0, 3). Gli asintoti dell'iperbole sono y=±3x/2. L'equazione dell'iperbole traslata con vettore v(4, -1) è quindi:

Sviluppando i calcoli si ottiene:

9x² - 4y² - 72x - 8y + 104 = 0

Le coordinate del centro e dei vertici dell'iperbole traslata sono:

O'(4, -1), A'₁(2, -1), A'₂(6, -1), B'₁(4, -4), B'₂(4, 2)

Gli assi di simmetria sono x = 4 e y = -1.

Gli asintoti dell'iperbolen traslata hanno equazioni:

Ecco il grafico delle due iperbole:

Esempio 2: Rappresenta l'iperbole di equazione 4x² - y² - 48x + 4y + 156 = 0

Metodo del completamento del quadrato.

Riscriviamo l'equazione dell'iperbole raggruppando i termini con la x e quelli con la y

4(x² - 12x) - (y² - 4y) + 156 = 0

Per ottenere il quadrato di un binomio all'interno di ogni parentesi aggiungiamo un opportuno termine noto e togliamo lo stesso termine fuori dalle parentesi.

4(x² - 12x + 36) - 4⋅36 - (y² - 4y + 4) + 4 + 156 = 0

4(x - 6)² - 144 - (y - 2)² + 4 + 156 = 0

4(x - 6)² - (y - 2)² = -16

E dividendo entrambi i membri per 16 si ottiene:

Si tratta di un'iperbole con l'asse traverso parallelo all'asse y immagine dell'iperbole

nella traslazione di vettore v(6, 2). Il centro di simmetria ha coordinate 0(6, 2), i vertici reali hanno coordinate B₁(6, -2) e B₂(6, 6) e quelli non reali A₁(4, 2) e A₂(8, 2). Gli asintoti hanno equazioni y=2x-10 ∨ y=-2x+14