Divisori di un monomio. Divisione di monomi
Consideriamo la divisione tra i due monomi:
6a3b4 : 3a2b
Operiamo la divisione fra i coefficienti e la divisione fra le parti letterali:
(6 : 3)(a3b4 : a2b)
Applichiamo la proprietà della divisione tra potenze aventi la stessa base:
(6 : 3)(a3 : a2)(b4 : b)
2a3-2b4-1 = 2ab3
E il quoziente ottenuto è un monomio.
Consideriamo ora la divisione tra i due monomi:
4a2b4 : 5a3b
Applicando lo stesso procedimento si ottiene:
e il quoziente non è un monomio (la lettera a ha esponente negativo). Pertanto l'insieme dei monomi non è chiuso rispetto alla divisione.
Sorge quindi la domanda: quando è possibile eseguire la divisione tra due monomi in modo che il quoziente sia un monomio?
Nell'insieme dei numeri naturali sappiamo che è possibile eseguire la divisione tra due numeri naturali solo se il dividendo è divisibile per il divisore e ciò avviene se nella scomposizione in fattori primi del dividendo compaiono tutti i fattori primi del divisore con gli esponenti maggiori o uguali. Un discorso del tutto analogo si può fare con i monomi. Pertanto la divisione tra due monomi è possibile solo se il dividendo è divisibile per il divisore e ciò avviene se nel dividendo compaiono tutte le lettere del divisore con gli esponenti maggiori o uguali.
In generale,
La divisione tra due monomi si può eseguire solo se i monomi sono divisibili. In tal caso il quoziente tra due monomi divisibili è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti dei due monomi e per parte letterale le lettere del dividendo, ciascuna, elevata alla differenza degli esponenti che la stessa lettera ha nel dividendo e nel divisore.
Il grado del quoziente dei due monomi è uguale alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore.
Esempio 1: Quali sono i divisori del monomio 3a2b3 considerando solo quelli con coefficiente 1?
divisori con:
grado 0: 1
grado 1: a, b
grado 2: a2, ab, b2
grado 3: a2b, ab2, b3
grado 4: a2b2, ab3
grado 5: a2b3
