Dai numeri alle lettere, dal concreto all'astratto
Spesso, per esprimere una regola generale si utilizzano delle lettere dell'alfabeto al posto dei numeri. Ad esempio, in geometria, le lettere vengono utilizzate per scrivere formule che forniscono un procedimento generale per risolvere problemi dello stesso tipo. Così la formula
esprime in forma sintetica la procedura per determinare l'area di un triangolo:
moltiplicare la misura della base per quella dell'altezza e dividere il prodotto per 2.
Nella formula le lettere b e h indicano rispettivamente le misure della base e dell'altezza del triangolo. Questa formula può essere applicata a tutti i triangoli e quindi ha valenza generale e le lettere b e h stanno al posto di numeri che per il momento non vengono specificati, numeri che di volta in volta possono variare in modo da rappresentare tutti i possibili valori che possono assumere la base e l'altezza di un triangolo. Le lettere come nel nostro caso b e h che indicano non un numero specifico ma un numero generico vengono dette variabili. E' importante capire che possiamo effettivamente calcolare l'area del triangolo solo quando sono noti i numeri da assegnare alle due variabili. Ad esempio se vogliamo calcolare l'area di un determinato triangolo che ha per base 12 e per altezza 8 dobbiamo porre b = 12 e h = 8 ed eseguire la procedura indicata dalla formula. In questo modo l'area del triangolo risulta determinata e uguale a 48.
Possiamo immaginare che la variabile sia una scatola vuota con una etichetta sulla quale è scritto il nome della variabile e che viene di volta in volta riempita da un valore numerico. Ad esempio, come è stato visto, se nella scatola con l'etichetta b inseriamo il numero 12 e nella scatola h inseriamo il numero 8 l'area del triangolo è uguale a 48.
Naturalmente potremmo assegnare alle varibili altri valori e otterremmo un valore diverso per l'area. Ad esempio se nella scatola con l'etichetta b inseriamo il numero 5 e nella scatola h inseriamo il numero 8 l'area del triangolo cambia e diventa uguale a 20.
Una formula come quella dell'area del triangolo dove oltre a numeri e alle solite operazioni contiene anche lettere che hanno il ruolo di variabili viene detta espressione algebrica letterale o semplicemente espressione letterale.
Nel linguaggio algebrico per rendere più facile la scrittura di un'espressione letterale viene in generale omesso il segno della moltiplicazione, e il prodotto di lettere uguali viene indicato con la notazione esponenziale:
Ad esempio:a ⋅ b si scrive ab;
3 ⋅ a si scrive 3a;
a ⋅ a si scrive a2;
a ⋅ a ⋅ a ⋅ a si scrive a4.
a ⋅ b ⋅ a ⋅ b si scrive a2b2.
Esistono, quindi delle caratteristiche diverse tra il calcolo numerico e il calcolo letterale nella scrittura di un'espressione. Ad esempio, nel calcolo numerico il segno della moltiplicazione tra due numeri non può essere omesso perchè le due scritture 5 ⋅ 4 e 54 hanno due valori diversi.
Un'espressione algebrica ci da anche la possibilità di ottenere immediatamente conclusioni generali senza dover ragionare su una molteplicità di casi particolari. Ad esempio, se vogliamo verificare se è vera o falsa l'affermazione:
La somma di tre numri naturali consecutivi è sempre un multiplo di 3.
Possiamo fare alcune prove scegliendo alcune terne di numeri naturali consecutivi
Ad esempio:1 + 2 + 3 = 6;
5 + 6 + 7 = 18;
11 + 12 + 13 = 36;
57 + 58 + 59 = 174.
Tutte queste scelte confermano l'affermazione. Ma possiamo essere certi che è così per ogni possibile scelta del numero iniziale? Le possibilità sono infinite non possiamo provarle tutte. Se invece utilizziamo un'espressione algebrica che sintetizza l'affermazione possiamo in un solo colpo stabilire se la nostra affermazione è vera o falsa. Vediamo come ciò è possibile:
Se indichiamo con la lettera n il numero iniziale allora n+1 è il successivo di n e n+2 è il successivo di n+1 e la loro somma sarà:n + n + 1 + n + 2
Cioè
3n + 3
che possiamo scrivere
3(n + 1)
Ora questa formula ci dice che la somma di tre numeri naturali consecutivi si ottiene moltiplicando per 3 il numero n+1 e questo ci garantisce che tale prodotto è sempre un multiplo di 3.
Come si vede le espressioni algebriche rappresentano uno strumento potente perchè attraverso le formule possiamo passare da un problema concreto a un problema più generale e ciò ci permette di costruire dei modelli matematici in grado di rappresentare e simulare la realtà.
